“线性代数与解析几何”是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程，是解决现实世界中的离散问题的有力工具。笔者经过十几年的教学实践，发现线性代数与解析几何是一门很有特色的课程。首先，线性代数与解析几何课程中有很多实用方法，这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论，再经过严密的逻辑推理而得到的。但用这些方法去解题时，又都是一些较简单的算术运算。所以在教学时，教师应把重点放在这些方法的产生过程上，而不是放在方法的使用上。事实上，这些方法的产生过程，就是提出问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程，也就是学习如何提出问题、分析问题、解决问题，这有利于他们能力的提高；其次，几何与代数课程中的很多概念和理论都与线性方程组有关，在教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来一一引出。因此，在教学过程中采用研究性教学法，通过我校自编教材“线性代数与解析几何”（修订版），其中前4章为基础篇，后4章为实用篇。下面笔者以基础篇为例，简要介绍一下我们在研究性教学法中的引入过程，仅供大家参考，不当之处，望批评指正。
二、研究性教学法的总体设计
所以在基础篇中应用研究性教学法的总体构思如下：基础篇中的4个知识点以如何求解线性方程组这一中心问题来展开，由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念，接着研究行列式的理论，最后由克莱姆法则解决这类方程组的求解问题；对于一般的线性方程组，先引出矩阵的概念，由于矩阵与方程组一一对应，因此研究线性方程组就转化为研究矩阵，并最终由矩阵来解决解线性方程组的方法问题，这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论没能解决抽象线性方程组解的结构问题，所以必须从另外的角度来研究方程组，于是通过三维空间引入向量概念，且方程组与向量组一一对应。最后由向量解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为纽带，把矩阵和向量组这两个看似毫不相关的概念建立了一一对应的关系。所以在研究向量组时，可以充分利用矩阵这一有力工具。
三、几何与代数研究性教学法
（一）求解方程组的实质
几何与代数研究的一个主要问题是线性方程组，可学生已经会解方程组了，它还有什么好研究的呢？
（二）矩阵概念的引出
线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定，而与未知变量的记号无关。因此，研究方程组的求解问题，只需研究由方程组中的每个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可，这样的数表称为矩阵。
（三）向量概念的引进
行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的3个问题，为了解决这3个问题，必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系。那么，还可以用什么工具来研究方程组呢？这时自然会想到几何中的向量，因为向量是一个有序数组，而线性方程中的未知变量的系数及常数项按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程x ＋2y －z＝1对应于向量α1＝（1，2，－1，1），例1中的方程组对应于向量组α1＝（1，2，－1，1），α2＝（3，1，2，2），α3＝（2，－1，3，1）。这样研究方程组的求解问题就可转化为研究它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学习上来。
在定义了向量组的线性相关性以后，问题（1）得到了解决：方程组中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题只是从理论上得到解决，因为向量组的线性相关性的判别目前只能用定义，而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组，形成了一个环，因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题又出现了，这一新问题由向量组的线性相关性的4个判别定理来解决。这样很抽象的4个定理，在学生翘首以待的过程中，被一一地引出了。讲完这4个定理后，笔者又提出这样一个问题：这4个定理只是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题，若用它们来判别某些具体的向量组的线性相关性，有时很困难，甚至不可能。但在这4个定理的指导下，我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方法，在介绍这一方法之前，我们必须学习向量组的秩及其有关理论。那么我们的有效方法究竟是怎样的呢？留下这个问题让学生思考。
有了上次课的伏笔，本节课再重复一下上次提出的问题，进一步激发学生的学习兴趣，然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概念，以及本节的一个重要定理和它的4个推论。本节的内容讲完后，再回到解方程组的3个问题上来。解方程组的第（2）个问题在本节得到解决，即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关组所对应的方程组。学完本节后，上一节提出的方法问题也得到了解决：若向量组的秩小于向量组中的向量个数，则该向量组线性相关。但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了解决这一问题，需要进一步研究矩阵及矩阵和向量组的关系。
利用方程组作为桥梁，把矩阵和向量组一一对应。定义矩阵的秩后，求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。在讲解这一方法时，必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其中所起的重要作用，使学生深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解决问题，从而达到提高能力的目的。在这里，问题（3）也得到了解决：若方程组Ⅰ的保留方程组中含有r 个方程，则该方程组中有n －r 个变量可自由变化，且其余r 个变量可由这n －r个变量唯一表示。
（四）解方程组的有效方法
通过前面的学习，虽然我们已经解决了求解方程组的3个问题，但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法，我们需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理论。最后我们找到的解方程组的有效方法是：利用矩阵的初等行变换来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决，“几何与代数”这门课程的第5章内容也是通过总结前4章出现的问题进行介绍的。
四、结束语
作者认为研究性教学的精髓在于，教师通过不断地提出问题、分析问题、解决问题，激发学生的学习兴趣，使他们带着问题去学习，在分析、解决问题的过程中学习新知识；同时，这种教学方式也能提高学生发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授“几何与代数”
这门课时，以求解线性方程组为主线，把行列式、矩阵、向量组的线性相关性这3个知识点有机地串在一起；把解决解方程组的3个问题贯穿在整个讲授过程中，在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多，笔者多年的教学实践证明了这一点。
我们国家的大、中学生在国际数学类竞赛上可以说是风光无限，但是我们不得不承认这样一个现实，在众多获奖人中最终从事数学工作并成为数学家的人却寥寥无几。这必然会使我们联想到我们的教育体制、教育理念、教育思想、教育方法，以至教材和师资方面所存在的问题。在这众多问题中，体制与师资是核心问题。体制与师资并不是完全独立的，而是密切相关的两个问题。一种好的体制固然有利于高水平的师资的产生；然而我们也必须认识到，高水平的师资必然会有效地推动体制的变革，使之更加适应时代发展的需要。因此，我们目前的一个中心工作是师资改造。我们要创造一种气氛，使更多教师的探求热情被充分地发挥出来，并凝聚成一种无穷的力量，开拓一种研究的氛围，只有有了研究性教师，才可能真正实现研究性教学；只有实现了研究性教学，才可能培养出具有开拓性、能够推动科学技术发展的人才。目前那种对研究性教学“上热下冷”的局面才能得到根本性的扭转。
充分借鉴国外的教材及先进经验，研究（我国与世界）教材深层次的问题，探索适合我国国情的数学教学改革之路，研发出适合我国教育发展需求，能够为广大学生充分理解，能够真正有效地提高学生的综合素质的教材，是数学教育改革的基础建设性工作。
在这里需要说明的是，第一，作者把行列式、矩阵、向量组的线性相关性等概念及相关理论的产生，都说成是为解线性方程组而产生的，这可能与它们产生的实际背景不相同，但这只是作者讲课时的一种处理方法，是否恰当有待商讨；第二，作者把行列式、矩阵、向量组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组，而事实上，这些理论的应用范围非常广，这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合学科发展的一般规律，即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问题，但当这一理论相当成熟以后，又可用来解决很多其他领域的问题，因此，应向学生反复强调这一点。
参考文献
［1］同济大学数学教研室.线性代数.北京：高等教育出版社，1999.
［2］李世栋.线性代数.北京：科学出版社，2000.
［3］陈治中.线性代数.北京：铁道出版社，2000．
［4］宋海洲.《线性代数》内容重排及课件建设［J］．高等理科教育，2003，4：61－65
［5］冯国臣.线性代数与解析几何.北京：清华大学出版社，2007.
“电磁学”教学中思维方式变迁例析
王智
（北京交通大学理学院光信息科学与技术研究所，100044）
摘要：以“电磁学”静电场的部分内容为实例，从数学手段、物理规律和物理概念3个方面，探讨在教学过程中培养大学生思维方式及解决物理问题的方法的变迁。
关键词：电磁学 思维方式 变迁
一、引言
从高中毕业，进入大学，很多学生习惯于中学时代的思维方式和学习方法，在很多课程的学习中仍然满足于中学时期的“预习-听课-复习-练习”的模式，学习仍然局限于课本上的文字内容，思维方式仍然拘泥于传统的教学模式，学习过程过多依赖数学手段和大量习题。尤其是大学物理课程，因为大部分同学在中学时期对课程的大部分内容都有一些认识，有的甚至学习得非常深入，比如力学、电磁学等。本文作者连续两年承担我校光信息科学与技术专业本科生“电磁学”的教学工作，在这门课程的教学过程中，略有思考，偶有所得。
本文拟结合“电磁学”中静电场部分内容的几个实例，指出中学学习与大学学习在内容、方法和思维方式上的异同，简单分析其中涉及的教学方式和思维方式的变迁。
二、数学手段的提高
实例1：矢量运算、微积分及“场”的概念。
大学物理与中学物理的最突出的区别之一就是大量吸收采用高等数学的方法和手段，从数学解析的途径解决一些物理问题。初次接触大学物理时，学生往往会自以为是地使用一些小聪明，满足于用初等数学解决大学物理问题，而且一般都很有效。这种状况持续一段时间之后，学生不仅不能全面把握大学物理整体知识体系，而且缺少高等数学的训练，非常不利于后续课程的学习，如导波光学、电动力学等理论物理课程。因此，我们在大学物理教学中，一定要强调高等数学的知识运用。
“电磁学”的静电场部分，从一开始就是如此。如在大家非常熟悉的库仑定律标量形式基础上，首先给出点电荷库仑定律的矢量形式，结合矢量叠加原理和高等数学的积分概念，原则上可以解决任意电荷分布带电体的空间电场问题。静电场的最重要的两个基本性质方程——高斯定律和环路定理，在大学物理部分主要是以积分形式出现和应用，在“电磁学”课程结束部分出现微分形式，特别是以梯度、散度、旋度等形式表述，更突出体现了“场”的概念——空间分布的物理量。
电场强度与电势的梯度微分关系也是基于数学中的“方向导数”引出的，将电场强度定义为电势的方向导数最大值，并确定其矢量方向。采用这样的数学概念，不仅能使学生灵活理解数学中的知识，更重要的是可以使他们对物理的概念理解得更透彻—— “场”是空间“点”的函数。
虽然大家都非常熟悉“场”这个名词，从哲学上也认识了其物质性，但是真正的“场”的概念是从“电磁学”中得到的。法拉第最早提出“场”之后，电磁相互作用从超距作用变为近距作用，彻底改变了人们对电磁相互作用的因果关系的观念，更深远的影响是“场”的概念几乎渗透到了物理学的所有领域，并在一定程度上决定了物理学的研究方向。
三、物理规律的丰富
实例2：高斯定理、环路定理、“场”与“路”。
静电场的高斯定理和环路定理说明了静电场的两个基本性质：有源和无旋（有势或保守）。从“电场线”的性质和“电场通量”的概念开始，很容易引导学生自己得到“闭合曲面电通量为正（负）时，内部一定有正（负）电荷”的结论，从而总结“闭合曲面的电通量与内部电荷成正比”，进而得到高斯定理。
将静电场与大家熟悉的重力（场）类比，利用功能原理，得到静电场的环路定理和“保守场”的概念，同时指出重力场也是一种保守场，并得到完全与重力势能、高度等对应的电势能、电势等概念。