［7］吴传生.经济数学：微积分.北京：高等教育出版社，2003.
［8］刘应辉.经济应用数学：上册.北京：高等教育出版社，1991.
几何与代数教学中研究性教学案例应用
冯国臣，李琦
（北京交通大学理学院数学系，100044）
摘要：案例教学一直是数学教学中比较重要的教学法之一，本文针对在几何与代数教学中关于特征根与特征向量在实际应用中的案例进行讲解，设计一节实际教学课程。作者在为我校经济管理学院学生进行“几何与代数”课程教学过程中进行实践教学，取得较好效果，用以提高教学质量，激发经济类学生的学习兴趣，培养学生实践能力和自学能力。
关键词：几何与代数 特征根 特征向量 人口
本文想通过一个简单的案例，启发学生将数学理论与实践相结合的思索，同时给出本案例中更深层次的问题。通过本例及其后续问题的不断加深，引导学生思考几何与代数课程中知识点之间的关系，提高课程教学效果。
目前我们能够接触到的研究性教学教材的一个重要取向与突出表现为注重应用，然而，在大学本科数学教育中“应用”不应作为唯一的教学目的，为“应用”而谈“应用”不仅无益而且有害。数学作为一种文化与科学，首先需要使受教育者受到相应文化的熏陶，同时掌握这门科学的基本思想与方法。要真正实现这一点，教师需要进行多学科的研究，特别是对数学哲学的研究，因为只有这样才能真正地、全面地理解数学，才能做到把“难懂的数学”变为“易懂的数学”，再把“易懂的数学”变为“能够运用的数学”，这是一个认识与理解不断升华且不可分割的完整过程。借鉴国内外的典型教材和经典专着是提高我们的认识水平的一条重要途径。
因此，案例教学还存在其可取之处。特别是对于经济管理类的学生尤其重要。因为，经济管理类与工科类学生的入学层次不同，工科类学生来源于中学的“理科”，数学功底扎实、起点高。经济管理类的学生一半来自文科，他们的数学基础差，理解力、逻辑推理能力都较理科学生稍逊一筹。从历年的情况来看，教经管学院数学的教师费尽心血地教课，学生也努力地学习，结果却不令人满意。每学期期末统一考试完后，统一改卷，我们都会明显地感到经管学院学生与其他学院学生的分数存在着很大差异，经管学院学生的成绩平均值比全校平均值低十几分，甚至二十几分，不及格比例居高不下，甚至于有些班不及格率达到40%以上。为此，任课教师及经管院学生已呼吁多年，不能用统一标准来要求经管学院的学生。
国家教委颁布的“高等数学”教学要求，对工科学生和经管学院学生的要求是不一样的。两类学生将来参加研究生考试时，也是参加不同类型的“微积分”考试，工科学生参加数学一、二类考试，而经管学院学生绝大多数参加数学三、四类考试。因此，我校对这两类学生的“微积分”教学也应相应地制定出各自的教学大纲，分别根据各自的教学大纲实施教学任务。
虽然经济管理类的学生数学基础不强，但是他们的分析力和理解力，特别是写作能力比较强。21世纪人才培养的目标是把人才培养由“知识型人才培养”拓宽为“知识、能力、研究型相结合的综合性人才培养”。人才培养计划以实现大学生知识、能力与素质协调发展为出发点，既考虑学生在校期间应获得的知识结构与框架，又要考虑学生各种能力、素质的培养及个性化发展。面对改革形势，“微积分”的教学工作也应更新观念、转变思想，改革势在必行。而改革的重点就是要加强应用性和实践性，要扩大应用实例的覆盖面，加强学生应用数学知识、分析和解决实际问题能力的培养和训练，要努力突破“微积分”的教学模式，促进其与相关内容的有机结合和渗透。从这个角度来看，对工科和经管类学生应有不同的侧重点。对经管类学生，应加强“微积分”知识在经济、管理类科学及人们日常生活等方面的案例教学。
下面就教学中的一个案例进行介绍，此问题环环相扣，可以逐步研究下去。
一、问题提出
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。据已有数据，运用数学建模方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，如老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。
二、简化问题
这是2007年数学建模的一个问题，对于大学一年级的学生来说，解决起来很不容易，我们可以慢慢地，逐步细化这些问题。考虑一个封闭种群下的数量增长问题：
假设一个大城市中的总人口是固定的，人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市民居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？
30年，50年后又是如何？当经过足够长时间后，城市和郊区的人口比例会收敛吗？如果收敛，其极限值又是多少？
这样问题就可以简化很多，可以通过正在学习的矩阵的特征值与特征向量来进行分析与解决。
为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳定值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的结果。
随着时间的增加，郊区人口与市区人口的比值趋向于1/3，这也证明了这个差分动态系统是稳定和收敛的。
在上述案例讲解中，可以不断引出问题，以期学生课下进行小组讨论，并利用业余时间分组讲解。也可以提出一些新问题供学生思索，如：某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路。开采1元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费。生产1元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费。
创收1元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费。在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地金额为25000元的订货，外界对地方铁路没有需求。问3个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？
研究性教学观点就是无论教师讲授什么内容，首先要把它设计成一个好的问题，通过对问题的不断深入探索，由学生和教师共同得出所要讲授的结论。这种讲授方法事实上是在模拟前人研究相应问题的过程，是数学建模过程的再体现。这一讲授方法从根本上改变了教师与学生的位置关系，尽管问题是由教师设计的，但在讲授过程中，教师与学生的地位是等同的——他们都是面向同一问题的研究工作者。这种地位的转变不仅可以最大限度地提升学生的兴趣和积极性，更重要的是，将探究、联想、归纳、类比等一切有益于创造能力培养的思想与方法潜移默化地融入到了数学日常教学过程中。这一点是传统教学方法难以做到的。
这种教育模式是研究性教学的真正体现。
参考文献
［1］陈治中.线性代数.北京：铁道出版社，2000.
［2］宋海洲.《线性代数》内容重排及课件建设［J］．高等理科教育，2003，4：61－65.
［3］冯国臣.线性代数与解析几何.北京：清华大学出版社，2007．
研究性教学方法在操作系统课程中的探索与实践
翟高寿，须德
（北京交通大学计算机学院，100044）
摘要：伴随高等教育的发展及教学研究与改革的深入，研究性教学方法的重要性日益得到各高等院校及广大教师的普遍认同，这在时下我国由人力资源大国到人才强国的转型过程中具有特别重要的意义。本文主要就作者对研究性教学方法的认识及思考，并结合其在操作系统课程教学实践中的运用进行了探索与讨论。
关键词：研究性教学方法 操作系统课程 现代教学手段 关键教学环节
伴随高等教育的发展及教学研究与改革的深入，发源于中小学课程讲授过程中的研究性教学方法正日益得到越来越多的高等院校和高校教师的认同和重视。本文将主要就作者对研究性教学方法的认识及思考，并结合其在操作系统课程教学实践中的运用展开研究与讨论。
一、关于研究性教学方法的认识与思考
研究性教学方法起源于20世纪初的中小学课程，后来被引入到大学教学实践中。杜威、克伯屈、布鲁纳和施瓦布等相继创立或提出了“问题教学法”、“设计教学法”、“发现法”及“探究式学习法”，对研究性教学方法的发展作出了重要贡献。
高等教育的教学方法应与高等教育的功能及理念保持一致，并伴随后者的演化而做相应的调整。产生于中世纪的大学，其唯一的职能就是教学，强调把普遍的学习传授给普遍的人，以培养教师、律师、医生、牧师及有一定专长的公职人员，故而主要采用讲授、背诵与辩论等3种教学方法。洪堡创立柏林大学后，大学的职能开始强调教学与研究相结合，即把科学研究引进到教学过程中来，从而导致教学形式的革新与创新，演讲、讨论、研究等教学方法得到运用。对于国内高等教育的发展来说，长期把教学理解为仅仅是传承知识的过程，教师承担的只是“传道、授业、解惑”的责任，为此以前普遍采用的是一种灌输式的教学模式，把更多的教学责任放到教师身上，而忽视了学生在教学过程中的主体地位，造成了学生学习的被动性，并从一定层面上制约了学生的学习方式、压抑了学生创造力的发挥。
我们国家正处于由人力资源大国到人才强国的转型阶段，作为培养国家建设人才的主力军的高等教育责任重大。而要改善和提高大学生的培养质量及综合素质，就必须倡导和推行研究性教学方法，以期激发大学生的学习兴趣和探究潜力，并培养他们的创新精神、科学精神、研究能力及社会责任和综合的社会实践能力。
目前，在大学教学实践中得到尝试和发展的典型研究性教学法主要包括案例教学法、基于问题解决的教学方法、基于问题学习的教学方法等。
二、操作系统课程中研究性教学方法的运用与实践
操作系统课程是国内外计算机科学与技术专业本科的主干课程和核心课程之一，其对于培养学生的系统软件研发实践能力和专业综合素质具有特别重要的作用。改变传统的灌输式教学模式，倡导研究性教学方法将会最大限度地激发广大学生的学习兴趣和主观能动性，有力地保障教学效果的不断改善和教学质量的不断提高，并最终推动课程教学目标的顺利实现。
首先，只有认清了教师教学方法与学生学习方式之间的关联关系，才会真正理解研究性教学方法的重要性，并为此展开研究和实践尝试。进一步说，正是由于传统的灌输式教学模式导致了学生的“接受”型被动学习方式，而其间学生思维的主动性、创造性没有得以彰显，探索习惯和能力的培养被普遍忽视。所以，开展研究性教学方法的探索与实践，其根本目标是为了激发作为教学过程主体的学生的学习兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性，并进而挖掘他们的探究潜力和探索精神。
其次，要激发学生的学习兴趣，基本的载体就是问题，但问题的表现形式应多样化，可以在课堂讲授的过程中以问题提问的方式甚至启发方式引导解决问题的方式展开，也可以通过开放式问题作业的形式鼓励学生课后完成，或者在实验设计和实践开发过程中加以验证。
这便要求操作系统课件的制作要体现动态化的特征，以使其与课堂讲授过程的启发式教学模式保持一致和相得益彰。另外，操作系统领域“图灵奖”获得者照片及其主要成就在课件中的展示对于激发学生的学习兴趣也起到了很好的作用。
再次，教学过程要遵循客观教学规律和学生认知规律，切忌生搬教条和“全盘西化”。
换句话说，研究性教学方法不是万能的，其亦有其使用局限性，如纯粹的案例式教学方式不利于知识的系统性学习和难以构建系统的课程知识体系。所以对于整个操作系统课程的教学体系来讲，应通盘考虑、有针对性地实施不同的教学方法。同时，课程教学内容的组织要从易到难、逐步展开。还有，应充分认识教学过程的反馈机制的重要性，并加以有效的利用，从教学内容、教学模式等多个层面展开改进。
总之，要很好地落实研究性教学方法在操作系统课程中的实践运用，需要探究适应研究性教学方法的操作系统课程教学的整体设计，需要实现研究性教学方法与现代教学手段的有机结合，并需在课堂讲授、课后作业、实验设计等关键教学环节给出与课程特定内容和要求相一致的研究性教学方法实施方案。