编制密码——质数的巨大功用
2000年前，欧几里得证明了素数有无穷多个。既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。
孤独失落的兄弟——质数
质数又叫素数。是指一个只能被1和它本身整除的数，它是一个在数论中占重要研究地位的数。孪生质数指的是间隔为2的相邻质数，比如“3和5”“5和7”，他们孤独而失落，虽然接近，却不能真正触到对方。
质数与编制密码
11111这个数很容易记住。如果在需要设置密码时，选用11111，别人不知道，自己忘不掉，可以考虑。但是，万一被别人记住这个密码，怎么办呢？这时你可以采用双重加密。通常看见11111这个数，从它由5个1组成，容易联想到“五一劳动节”、“五个指头一把抓”、“我爱五指山，我爱万泉河”，等等。但是一般不太容易想到把它分解质因数。这个数可以分解成两个质因数的乘积：11111=41×271。
这两个质因数都比较大，不是一眼就能看得出来的。把两个质因数连写，成为41271，作为第二层次的密码，可以再加一道密，争取一些时间，以便采取补救措施。
密码容易被破解怎么办
如果担心破解密码的人也会想到分解质因数，可以加大分解的难度。把两个质因数取得大些，分解起来就会困难得多。例如，从质数表上可以查到，8861和9973都是质数。把它们相乘，得到8861×9973=88370753。
把乘积88370753作为第一密码，构成第一道防线；把两个质因数连写，成为88619973，作为第二密码，这第二道防线就不是一般小偷能破解的了。即使想到尝试把88370753分解质因数，即使利用电子计算器帮助做除法，如果手头没有详细的质数表，逐个试除下去，等不及试除到1000，就可能丧失信心，半途而废。
质因数这么大，万一自己忘记了密码，自己也同样破解不出，那不是自找麻烦吗？
这一点在编制密码时就要早作安排。选取上面这两个大质数8861和9973，已经预先定下锦囊妙计：只要用谐音的办法，把它们读成“爸爸留意，舅舅漆伞”，就能牢牢记住了。
用以上这套简单办法，每个人都很容易编出只有自己知道的双重密码。
如果利用电子计算机，把一个不很大的数分解成质因数的乘积，是很容易的。但是如果这个数太大，计算量超出通常微机的能力范围，就是电脑也望尘莫及了。
“魔咒是神经质的秃鹰”
1977年，曾经有三位科学家和电脑专家设计了一个世界上最难破解的密码锁，他们估计人类要想解开他们的密码，需要40个1千万万年。他们这样做，是要向政府和商界表明，利用长长的数学密码，可以保护储存在电脑数据库里的绝密资料，例如可口可乐配方、核武器方程式等。
他们编制密码的原则，基本上就是上面介绍的分解质因数的办法，不过他们的数取得很大不是五位数11111或八位数88370753，而是一个127位的数，使当时的任何电脑都望洋兴叹。
当然，编制密码锁的三位专家里夫斯特、沙美尔和艾德尔曼没有想到，科学会发展得这样快。仅仅过了17年，经过世界五大洲600位专家利用1600部电脑，并且借助电脑网络，埋头苦干8个月，终于攻克了这个号称千亿年难破的超级密码锁。结果发现，藏在密码锁下的是这样一句话：“魔咒是神经质的秃鹰。”
稀少又珍贵的完全数
公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
象征完满的完全数——6
公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是人们又诞生了完全数。6是人们最先认识的完全数。当研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6。他激动地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它是完整的，并且其和等于自身。”
比珍珠还难找的完全数
完全数在古希腊诞生后，像谜一样吸引着众多数学家和数学爱好者去寻找更多的完全数。可是，纵然为此呕心沥血，仍然没有人找到第五个完全数。后来，由于欧洲战争不断，希腊、罗马的科学也逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国。从此，希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等国，学到了不少数学知识。他才华横溢，后来写出名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和将东方数学系统地介绍到西方的第一人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契经过推算后宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有得到当时数学界的共鸣，只好不了了之。
无名氏与第五个完全数
1460年，当人们还在为寻找更多完全数乐此不疲时，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。它比第四个完全数8128大了4000多倍。
跨度如此之大，在计算并不发达的时代可想而知发现者的艰辛了。可惜手稿里没有说明他用什么方法得到的，也没有公布自己的姓名，使得人们迷惑不解。不过，在这位无名氏成果的鼓励下，15－19世纪是研究完全数不平凡的时代，其中17世纪出现了小高潮，而著名的“梅森猜测”就是这个时候诞生的。
不断发现的难题
在研究与寻找的过程中，人们还发现完全数的一个奇妙现象。如果把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如：
数字28：2＋8＝10，1＋0＝1
数字496：4＋9＋6＝19，1＋9＝10，1＋0＝1
这一现象意味着什么？法国数学家笛卡尔曾公开预言：“能找出的完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”所以关于完全数还有许多待解之谜，比如：完全数之间有什么关系？完全数是有限还是无穷多个？存在不存在奇数完全数？