几何学发展的历史悠久，内容丰富。它和代数、分析、数论等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都呈几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各分支数学理论。
趣谈几何
埃及和巴比伦人在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理，也就是我们中国的勾股定理。古埃及人还有方形棱锥（截去尖顶的金字塔形）的体积计算公式，巴比伦还有一个三角函数表。这些先进的数学原理，有时令我们不得不怀疑是否有史前人类或外星人的参与呢。
最早的几何记录
最早有关几何的记录可以追溯到公元前3000年的古埃及、古印度和古巴比伦。它们利用长度、角度、面积和体积的经验原理，用于测绘、建筑、天文和各种工艺制作等方面的测算。这些原理非常复杂和先进，现代的数学家都需要用微积分来推导它们。
“几何”一词的来历
我们都知道几何学，但你知道“几何”这个名称是怎么来的吗？
在古代，这门数学分科并不叫几何，而是叫“形学”。听名字大概是指与图形有关的数学。但中国古时候的“几何”并不是一个专有数学名词，而是文言文虚词，意思是“多少”。
例如曹操的著名乐府诗《龟虽寿》里写道：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。而《陌上桑》中那个从南而来的使君看上了美丽的采桑女罗敷，询问她：“罗敷年几何？”这里的“几何”也是“多少”的意思。
直到20世纪初，“几何”这个名字才有了比较明显地取代“形学”一词的趋势，到了20世纪中期，“形学”一词再难得露上一面，“几何”成为了数学分科的正式名称。
笛卡尔与解析几何
在笛卡尔之前，几何是几何，代数是代数，他们各自独立互不相扰。但是，传统的几何过分依赖图形和形式演绎，而代数又过分受法则和公式的限制，这一切都制约了数学的发展。有一天，笛卡尔突发奇想，能不能找到一种方法，架起沟通代数与几何的桥梁呢？为此他常常花费大量的时间去思考。
1619年11月的一天，笛卡尔因病躺在了床上，无所事事的他又想起了那个折磨他很久的问题。
这时，天花板上有一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来，吐丝结网，忙个不停。从东爬到西，从南爬到北。结一张网，小蜘蛛要走多少路啊！笛卡尔开始计算蜘蛛走过的路程。他先把蜘蛛看成一个点，接着思考这个点离墙角有多远？离墙的两边又有多远？
想着想着就睡着了。结果在梦中，他好像看见蜘蛛还在爬，离两边墙的距离也是一会儿大，一会儿小……大梦醒来的笛卡尔突然明白——要是知道蜘蛛和两墙之间的距离关系，不就能确定蜘蛛的位置吗？确定了位置后，自然就能算出蜘蛛走的距离了。于是，他郑重地写下了一个定理：在互相垂直的两条直线下，一个点可以用到这两条直线的距离，也就是两个数来表示，这个点的位置就被确定了。
笛卡尔写下的定理就是现在应用广泛的坐标系。可在当时，这真是了不起的发现，这是第一次用数形结合的方式将代数与几何连接起来了。它用数来表示几何概念，代数形式表示几何图形。这是解析几何学的诞生。沿着这条思路，在众多数学家的努力下，数学的历史发生了重要的转折，解析几何学也最终被建立起来。
最绚烂的语言──几何语言
许多数学符号很形象，一看就明了它的含意。如第一个使用现代符号“＝”的数学家雷科德就这样说道：“再也没有别的东西比它们更相等了。”他的巧妙构思得到了公认，从而相等符号“＝”沿用了下来。
现代数学符号体系的形成
数学的说理性很强，因此用文字语言来叙述说理过程时，写的人嫌麻烦，读的人又觉得繁琐，写和读的人都跟不上思考，常常迫使思路中断。为了简化叙述，自古至今数学家们努力创造了大量缩写符号，使解决问题的思路顺畅。随着科学的迅速发展，作为科学公仆的数学迫切需要改进表述的方式方法，于是现代数学的符号体系开始在欧洲形成了。
三位数学家对符号的贡献
为了进一步发展，许多几何符号应运而生。如平行符号“∥”多么简单又形象，给人们抽象而丰富的想象，在同一个平面内的两条线段各自向两方无限延长，它们永不相交，揭示了两条直线平行的本质。
数学符号有两个基本功能：一是准确、明了地使别人知道指的是什么概念；二是书写简便。自觉地引入符号体系的是法国数学家韦达（公元1854－1603年）。而现代数学符号体系却采取笛卡儿（公元1596－1650年）使用的符号，欧拉（公元1707－1783年）为符号正规化普及作出不少贡献。如用a、b、c表示三角形ABC的三边等等，都应归功于欧拉。
数学符号——地球人都知道
数学中的符号越来越多，往往被人们错误地认为数学是一门难懂而又神秘的科学。当然，如果不了解数学符号含意的人，当然也就看不懂数学。唯有进了数学这扇大门才能真正体会到数学符号给数学理论的表达和说理带来的神奇力量。
想一想，符号真有趣。地球上不同地区采用了不同的文字，“十里不同风，八里不同俗”，唯独数学符号成了世界的通用语言。因此为了学好几何，必须加强几何符号语言的训练。
如何理解几何符号
首先是要彻底理解每一个几何符号的含意。
例如符号A、B、C……单独看它们，只是一些字母，没有任何几何意义。但如果分别在它们前面或后面加上“点”字，如·A、·B、·C才能表示几何含义。又如符号∠ABC和△ABC表示不同的几何图形，前者表示角，后者表示三角形。显然，要真正了解一个几何符号，必须首先理解相应的几何概念。
正确书写几何符号
数学符号大多是经过长期发展而形成的。有些符号甚至经历过五花八门的变化。如减号，数学家丢番图用符号“↑”表示，后人又用字母m（minus）表示，到15世纪才确认用符号“-”表示。因此，一个好的数学符号经历了适者生存的规律考验。对这些数学符号（包括几何符号）都要严格按标准书写。要知道书写几何符号是叫人容易看懂，不是叫人去猜谜语。
不能想当然自造几何符号
我们现在所学所用的几何符号已经得到了人们的公认，成了世界通用的符号，一般是不能随意变动的。对于没有的符号也不能随便臆造，如“∠”表示锐角，“∟”表示直角，似乎很有意义，然而真正用起来就会产生许多不便之处，说明这种符号的引入没有必要，也不可行。
不随意创造新的几何符号，并不是要大家一味墨守成规。事实上，新的数学知识产生，必然有新的符号出现。大科学家爱因斯坦在他的遗稿中就有不少新的符号，至今尚未被破译，不知道他说了些什么，如果他生前公布了他研究的新成果，说不定这些符号也就此出世了。但是，作为学生不要想入非非，重要的是要打好基础。
神秘的0.618
2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧多克斯首先提出了黄金分割这一说法。欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家，他曾研究过大量的比例问题，并创造了比例论。在研究比例的过程中，他又发现了“中外比”，也就是现在所说的“黄金分割”。
这就是“黄金分割”
有两条完全等同的黄金，每一条都分割成两部分。一条割下它的0.618倍，另一条割下它的0.618的0.618倍。把割下来的部分放在一起，剩余的部分放在一起，究竟是哪边多？
解答：设每条金条都为χ（重量为χ，若均匀粗细，也可理解为长度为χ），则0.618χ＋（0.618）2χ＝0.618（1＋0.618）χ＝χ由此可见，割下的部分放在一起，正好等于一整条金条。这种分割黄金的办法，在几何里有一个专用的名称，叫“黄金分割”。
黄金分割——完美的化身
“中外比”在造型艺术中具有美学价值：希腊雅典的巴特农神庙其高与宽的比完全符合“中外比”；达·芬奇的《维特鲁威人》符合“中外比”；《蒙娜丽莎》的脸符合“中外比”；《最后的晚餐》同样也应用了“中外比”来布局。“中外比”在实际生活中的应用也非常广泛，例如报幕员并不是站在舞台的正中央，而是台上偏左或偏右一点。
正因为“中外比”在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才尊敬地称它为“黄金分割”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但它究竟起源于何时，又是怎样被发现的呢？
黄金分割的起源
100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”，邀请了许多朋友来参加，参观完了之后，让大家投票选出最美的矩形。最后被选出的四个矩形的比例分别是：5×8，8×13，13×21，21×34。经过计算，其宽与长的比值分别是：0.625、0.615、0.619、0.618。这些比值竟然都在0.618附近。
事实上，大约在公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯学派就对这个问题产生了兴趣。他们发现当长方形的宽与长的比例为0.618时，其形状最美。于是把0.618命名为“黄金数”，这就是黄金数的来历。正如前面所说，这是个奇妙的数，正等着你们去探索它的奥妙。
历史上关于几何的三大难题
在古希腊有一位学者叫安拉克萨哥拉。他提出“太阳是一个巨大的火球”。这种说法现在看来是正确的。然而古希腊的人们更愿意相信神话故事中说的“太阳是神灵阿波罗的化身”。因此他们认为安拉克萨哥拉亵渎了神灵，将其投入狱中，判为死刑。
在等待行刑的日子里，安拉克萨哥拉仍然在思考着宇宙、万物和数学问题。
是谁在“化圆为方”
一天晚上，安拉克萨奇看到圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，心中一动，想到如果已知一个圆的面积，怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？
看似简单的问题，却难住了安拉克萨哥拉。因为在古希腊，作图只准许用直尺和圆规。
安拉克萨哥拉在狱中苦苦思考着这个问题，完全忘了自己是一个待处决的犯人。后来，由于好朋友、当时杰出的政治家伯利克里的营救，他顺利获释出狱。然而这个问题，他一直都没有解决，整个古希腊的数学家也没能解决，成了历史上有名的三大几何难题之一。
后来，在两千多年的时间里，无数个数学家对这个问题进行了论证，可还是都无功而返。
“神灵”的难题——立方倍积
古希腊有一座名为“第罗斯”的岛。相传，有一年岛上瘟疫横行，岛上的居民到神庙去祈求宙斯神：怎样才能免除灾难？许多天过去了，巫师终于传达了神灵的旨意，原来是宙斯认为人们对他不够虔诚，他的祭坛太小了。要想免除瘟疫，必须做一个体积是这个祭坛两倍的新祭坛才行，而且不许改变立方体的形状。于是人们赶紧量好尺寸，把祭坛的长、宽、高都增加了一倍，第二天，把它奉献在了宙斯神的面前。不料，瘟疫非但没有停止，反而更加流行了。第罗斯人惊慌失措，再次向宙斯神祈求神谕。巫师再次传达了宙斯的旨意。原来新祭坛的体积不是原来祭坛的两倍，而是八倍，宙斯认为，第罗斯人抗拒了他的意志，因此更加发怒了。
这当然仅仅是传说而已。但是“用圆规和没有刻度的直尺来做一个立方体，使得这个立方体是已知原来的立方体体积的两倍”这一问题，连最著名的数学家也不能解决。
不被允许的答案：三等分角
埃及的亚历山大城在公元前4世纪的时候是一座著名的繁荣都城。在城的近郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅的中间有一条河，公主居住的屋子正好建在圆心处。别墅的南北墙各开了一个门，河上建有一座桥。桥的位置和北门、南门恰好在一条直线上。国王每天赐给公主的物品，从北门送进，先放到位于南门的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。从北门到公主的屋子，和从北门到桥，两段路恰好是一样长。
公主还有一个妹妹，国王也要为小公主修建一座别墅。而小公主提出，自己的别墅也要修得和姐姐的一模一样。小公主的别墅很快动工了。可是工匠们把南门建好后，要确定桥和北门的位置的时候，却发现了一个问题：怎样才能使北门到居室、北门到桥的距离一样远呢？
工匠们发现，最终是要解决把一个角三等分这个问题。只要这个问题解决了，就能确定出桥和北门的位置了。工匠们试图用直尺和圆规作图法定出桥的位置，可是很长时间他们都没有解决。不得已，他们只好去请教当时最著名的数学家，我们已经熟悉的阿基米德。
阿基米德看到这个问题，想了很久。他在直尺上做了一点固定的标记，便轻松地解决了这一问题。大家都非常佩服他。不过阿基米德却说，这个问题没有被真正解决，因为一旦在直尺上作了标记，等于就是为它做了刻度，这在尺规作图法中是不允许的。
为什么蜜蜂用六边形建造蜂巢
蜜蜂是宇宙间最令人敬佩的建筑专家。它们凭借着上天所赐的天赋，采用了“经济原理”：用最少的材料（蜂蜡），建造最大的空间（蜂房）。