我们说对称性对于人而言，不仅仅是外在的美，也是健康和生存的需要。如果人只有一只眼睛，那么所看到的视野不仅会缩小，对目标距离的判断不精确，而且对物体形状的认知也会发生扭曲；如果一只耳朵失聪，对声源的定位就会不准确。那些靠听觉在野外生存的动物，一旦失去了声源的定位能力，就意味着生命随时会受到威胁。对于花朵，如果花冠的发育失去对称性，雄蕊就会失去授粉能力，从而导致物种的绝灭。
善于发现对称美
亚里士多德说：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。
我们应该努力去发现对称美，探索对称美。就像一位物理学家所说：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。
对称美也给科学家们提供了无限想象的空间，利用对其的研究，他们可以进一步认识生命活动的本质，发现更多存在于自然界的美。
无尽相似的艺术
我们在学校里学习的可以说都是经典几何学，以规则且光滑的几何图形，如球面、双曲面、马鞍面、花瓶表面等几何图形为研究对象。但自然界中大量存在的事物或数学模型却是极不规则、极不光滑的。如山峦、河流里的旋涡、海岸、云朵及土地龟裂的裂纹、玻璃窗上的冰花等。这些图形使传统的几何学和古典数学显得有些束手无策。
大自然与数学界的几何图形
当你漫步在海滩时，你可曾想过海岸线有多长吗？冬天，当雪花落下来时，你可曾留心过每片雪花的轮廓曲线是什么样的吗？这些不规则，但又很常见的图形，虽不会引起常人的重视，但这些问题在当代数学家芒德勃罗的眼中却有着不同的意义。他根据长期观察分析、收集与总结，创立了分形几何，很快，就引起了许多学科的关注，这是由于分形几何不仅在理论上，而且在实际生活中都具有重要价值。
什么是分形几何
分形几何是一门边缘学科，有着极其广泛的应用。比如，近年在研究治疗癌症的过程中，人们认为癌具有自相似性。癌细胞发育停滞，而分裂速度异常快，不规则、不协调，一片混乱，在“癌区”存在着“癌变分形元”。研究人员设法促进癌的分化发育，以突破滞点。目前许多药物与疗法正是根据这一原理进行的。
在上世纪70年代中期以前，芒德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，采英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分离的。芒德勃罗是想用此词来描述传统几何学所不能描述的一大类复杂无章的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形几何体。
分形几何的意义
中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界并非线性的一成不变，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法与意义。
动物中的图形“天才”
别以为只有我们人类才会作图，动物中的作图高手多着呢。
动物界的图形“天才”
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确的计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！这是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
自己造“产房”的高手
桦树卷叶象虫要“生产”了，它们会制作圆锥形的“产房”。雌象虫爬到距叶柄不远的地方，用锐利的双颚咬透叶片，再往后退咬出第一道弧形裂口。然后爬到树叶的另一侧，咬出弯度小些的曲线。最后，它回到开头的地方，把下面的一半叶子卷成细细的锥形圆筒，卷上5－7圈；把另一半叶子朝相反的方向卷成锥形圆筒。于是，结实的产房就做成了，桦树卷叶象虫钻了进去，安心产卵。
独特的“夜视眼睛”
夜晚时我们人类都不太能看得清事物，而猫、狗以及老虎、狮子等夜行动物却仍能外出捕猎，这是什么原因呢？原来，它们的眼球后面的视网膜是由圆柱形和圆锥形细胞组成的。圆柱形细胞适于弱光下感觉物体，圆锥形细胞则适合强光下感觉物体。夜行动物视网膜中圆柱细胞占绝对优势，夜里虽然光线极弱，但它们仍然看得清楚。
角度与猎物
老鹰从空中俯冲下来，总是采取一个最佳角度扑击它的猎物。壁虎在捕食蚊子等小昆虫时，总是沿磁卡螺旋形曲线爬行。鼹鼠这个超级近视眼挖掘地道时，总能沿着90°转弯。
看看，动物中的“图形”天才们的手艺不错吧，简直是巧夺天工，某些方面我们的建筑师也许都会自叹不如呢。
勾股定理——几何学中一明珠
勾股定理是几何学中的明珠之一。它是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理。在从古巴比伦至今的悠悠4000年的历史长河里，它的身影若隐若现。许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹，甚至连邮票、诗歌、散文、音乐剧中也能看到它的身影。
几何学中的一明珠
千百年来，对勾股定理进行证明的人有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人论证。在一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑里，收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是任何其他定理无法企及的。
在数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。据说勾股定理的两个最为精彩的证明，分别来源于中国和希腊。
中国人：“商高定理”
在我国，人们称它为勾股定理或商高定理。
商高是公元前11世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
周公问商高：天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？
商高说：那要用“勾三股四弦五”。
那么什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
希腊人：“百牛定理”
欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯是古希腊数学家。希腊另一位数学家欧几里得在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。又据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，杀牛百只以示庆贺，因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。