西山蔡氏学案序录
祖望谨案：西山蔡文节公，领袖朱门，然其律吕象数之学，盖得之其家庭之传。惜夫《翁季录》之不存也。述《西山蔡氏学案》。（梓材案：《文节传》原附《晦翁学案》，谢山始别为《西山蔡氏学案》。）
晦翁门人（刘、李再传。）
文节蔡西山先生元定（父发。）
蔡元定，字季通，建之建阳人。父发，博览群书，号牧堂老人，以程氏《语录》、邵氏《经世》、张氏《正蒙》授先生，曰：「此孔、孟正脉也。」先生深涵其义。既长，辨晰益精。闻朱文公名，往师之。文公叩其学，大惊，曰：「此吾老友也，不当在弟子列。」四方来学者，必俾先从先生质正焉。从臣尤公袤、杨公万里荐，坚以疾辞。庆元初年，韩侂冑禁伪学，御史沈继祖奏「朱熹剽窃张载、程颐之余论，寓以吃菜事魔之妖术，以簧鼓后进，张浮驾诞，私立品题，收召四方无行谊之徒，以益其党伍，相与餐粗食淡，衣带博，潜形匿迹，如鬼如蜮。其徒蔡元定佐之为妖，乞送别州编管」。先生曰：「化性起伪，恶得无罪。」遂谪道州。郡县捕甚急，先生毅然上道。文公与诸所从游百余人送别萧寺，坐客感叹，有泣下者。文公视先生不异平时，因曰：「友朋相爱之情，季通不挫之志，可谓两得之矣。」杖屦同其子沈行三千里，脚为流血，至舂陵，远近从者日众。或谓宜谢生徒，先生曰：「彼以学来，何忍拒之﹖若有祸患，亦非闭门塞窦所能避也。」贻书训诸子曰：「独行不愧影，独寝不愧衾，勿以吾得罪故遂懈。」一日，谓沈曰：「可谢客，吾欲安静，以还造化旧物。」阅三日，卒于贬所。嘉定三年，赠迪功郎，谥文节。先生从文公游最久，精识博闻，同辈皆不能及。尤长于天文、地理、乐律、历数、兵陈之说。凡古书盘错肯綮，学者读之不能以句，先生爬梳剖析，细入秋毫，莫不畅达。文公尝曰：「人读易书难，季通读难书易。」又曰：「造化微妙，惟深于理者能识之，吾与季通言而不厌也。」先生处家，以孝弟忠信仪刑子孙。而其教人也，以性与天道为先。自本而支，自原而流，闻者莫不兴起。所著《大衍详说》、《律吕新书》、《燕乐》、《原辩》、《皇极经世》、《太玄潜虚指要》、《洪范解》、《八陈图说》。子渊、沆、沈，并躬耕不仕。
西山律吕新书
律吕本原
黄锺第一（以《汉志》斛铭文定。）
长九寸，空围九分，积八百一十分。
黄锺者，阳声之始，阳气之动也，故其数。分寸之数九，具于声气之元，不可得而见。及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长，得九寸，审其围，得九分，（此章凡言分者，皆十分寸之一。）积其实，得八百一十分，是为律本。度量衡权于是而受法，十一律由是而损益焉。黄锺之实第二以（《淮南子》、《汉前志》定其寸分厘毫丝之法，以律书生锺分定。）
子一，黄锺之律。
丑三，为丝法。
寅九，为寸数。
卯二十七，为毫法。
辰八十一，为分数。
巳二百四十三，为厘法。
午七百二十九，为厘数。
未二千一百八十七，为分法。
申六千五百六十一，为毫数。
酉一万九千六百八十三，为寸法。
戌五万九千四十九，为丝数。
亥一十七万七千一百四十七，黄锺之实。
案：黄锺九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七为黄锺之实。其十二辰所得之数，在子寅辰午申戌六阳辰，为黄锺寸分厘毫丝之数，在亥酉未巳卯丑六阴辰，为黄锺寸分厘毫丝之法。其寸分厘毫丝之法，皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，由是三分损益，以生十一律焉。或曰：「径围之分，以十为法，而相生之分厘毫丝以九为法，何也﹖」曰：「以十为法者，天地之全数也。以九为法者，因三分损益而立也。」黄锺生十一律第三
子一分。
一为九寸。
丑三分二。
寅九分八。
一为一寸。
卯二十七分十六。
三为一寸，一为三分。
辰八十一分六十四。
九为一寸，一为一分。
巳二百四十三分一百二十八。
二十七为一寸，三为一分，一为三厘。
午七百二十九分五百一十二。
八十一为一寸，九为一分，一为一厘。
未二千一百八十七分一千二十四。
二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫。
申六千五百六十一分四千九十六。
七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫。
酉一万九千六百八十三分八千一百九十二。
二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝。
戌五万九千四十九分三万二千七百六十八。
六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝。
亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽。
案：黄锺生十一律，子寅辰午申戌六阳辰皆下生，丑卯巳未酉亥六阴辰皆上生。其上以三历十二辰者，皆黄锺之全数；其****数以倍者，（即算法倍其实。）三分本律而损其一也。阳数以四者，（即算法四其实。）三分本律而增其一也。六阳辰当位自得，六阴辰则居其冲，其林锺、南吕、应锺三吕在阴，无所增损，其大吕、夹锺、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应，盖阴之从阳，自然之理也。
子黄锺十七万七千一百四十七。
全九寸，半无。
丑林锺十一万八千九十八。
全六寸，半三寸不用。
寅太蔟十五万七千四百六十四。
全八寸，半四寸。
卯南吕十万四千九百七十六。
全五寸三分，半二寸六分不用。
辰姑洗十三万九千九百六十八。
全七寸一分，半三寸五分。
巳应锺九万三千三百一十二。
全四寸六分六厘，半二寸三分三厘不用。
午蕤宾十二万四千四百一十六。
全六寸二分八厘，半三寸一分四厘。
未大吕十六万五千八百八十八。
全八寸三分七厘六毫，半四寸一分八厘三毫。
申夷则十一万五百九十二。
全五寸五分五厘一毫，半二寸七分二厘五毫。
酉夹锺十四万七千四百五十六。
全七寸四分三厘七毫三丝，半三寸六分六厘三毫六丝。
戌无射九万八千三百四。
全四寸八分八厘四毫八丝，半二寸四分四厘二毫四丝。
亥仲吕十三万一千七十二。
全六寸五分八厘三毫四丝六忽，（余二算。）半三寸二分八厘六毫二丝三忽。
案：十二律之实，约以寸法，则黄锺、林锺、太蔟得全寸；约以分法，则南吕、姑洗得全分；约以厘法，则应锺，蕤宾得全厘；约以毫法，则大吕、夷则得全毫；约以丝法，则夹锺、无射得全丝。至仲吕之实，十三万一千七十二，以三分之不尽，二算其数不行，此律之所以止于十二也。变律第五
黄锺十七万四千七百六十二。（小分四百八十六。）
全八寸七分八厘一毫六丝二忽不用，半四寸三分八厘五毫三丝一忽。
林锺十一万六千五百八。（小分三百二十四。）
全五寸八分二厘四毫一丝一忽三初，半二寸八分五厘六毫五丝六初。
太蔟十五万五千三百四十四。（小分四百三十二。）
全七寸八分二毫四丝四忽七初不用，半三寸八分四厘五毫六丝六忽八初。
南吕十万三千五百六十三。（小分四十五。）
全五寸二分三厘一毫六丝一初六秒，半二寸五分六厘七丝四忽五初三秒。
姑洗十三万八千八十四。（小分六十。）
全七寸一厘二毫二丝二初二秒不用，半三寸四分五厘一毫一丝一初一秒。
应锺九万二千五十六。（小分四十。）
全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒，（余一算。）半二寸三分三毫六丝六忽六秒强不用。
案：十二律各自为宫，以生五声二变，其黄锺、林锺，太蔟、南吕、姑洗、应锺六律则能具足。至蕤宾、大吕、夷则、夹锺、无射、仲吕六律，则取黄锺、林锺、太蔟、南吕、姑洗、应锺六律之声，少下不和，故有变律。变律者，其声近正，而稍高于正律也。然仲吕之实十三万一千七十二，以三分之不尽，二算既不可行，当有以通之。律当变者有六，故置一而六三之得七百二十九。以七百二十九因仲吕之实十三万一千七十二，为九千五百五十五万一千四百八十八，三分损益，再生黄锺、林锺、太蔟、南吕、姑洗、应锺六律。又以七百二十九归之，以从十二律之数，纪其余分，以为忽秒，然后洪纤高下不相夺伦。至应锺之实六千七百一十万八千八百六十四，以三分之又不尽，一算数又不可行，此变律之所以止于六也。变律非正律，故不为宫也。律生五声图第六
宫声八十一，商声七十二，角声六十四，微声五十四，羽声四十八。
案：黄锺之数九九八十一，是为五声之本。三分损一，以下生征。征三分益一。以上生商。商三分损一，以下生羽。羽三分益一，以上生角。至角生之数六十四，以三分之不尽，一算数不可行，此声之数所以止于五也。或曰：「此黄锺一均五声之数，他律不然。」曰：「置本律之实以九九，因之三分损益，以为五声。再以本律之实约之，则宫固八十一，商亦七十二，角亦六十四，微亦五十四，羽亦四十八矣。」变声第七
变宫声四十二，（小分六。）尊征声五十六。（小分八。）
案：五声宫与商，商与角，征与羽，相去各一律。至角与征，羽与宫，相去乃二律。相去一律则音节和，相去二律则音节远。故角征之闲，近征收一声，比征少下，故谓之变征；羽宫之闲，近宫收一声，少高于宫，故谓之变宫也。角声之实六十有四，以三分之不尽，一算既不可行，当有以通之。声之变者二，故置一而两三之得九。以九因角声之实六十有四，得五百七十六，三分损益，再生变征、变宫二声。以九归之，以从五声之数，存其余数，以为强弱。至变征之数五百一十二，以三分之又不尽，二算其数又不行，此变声之所以止于二也。变宫、变征，宫不成宫，征不成征，古人谓之和缪。又曰：「所以济五声之不及也。」变声非正，故不为调也。八十四声图第八（正律墨书，变律朱书，半声朱书，半声墨书。）十一月黄锺宫六月林锺宫黄锺征正月太蔟宫林锺征黄锺商八月南吕宫太蔟征林锺商黄锺羽三月姑洗宫南宫征太蔟商林钟羽黄钟角十月应锺宫姑洗征南宫商太蔟羽林锺角黄锺变宫五月蕤宾宫应锺征姑洗商南吕羽太蔟角林锺变宫黄锺变征十二月大吕宫蕤宾征应锺商姑洗羽南吕角太蔟变宫林锺变征七月夷则宫大吕征蕤宾商应锺羽姑洗角南吕变宫太蔟变征二月夹锺宫夷则征大吕商蕤宾羽应锺角姑洗变宫南吕变征九月无射宫夹锺征夷则商大吕羽蕤宾角应锺变宫姑洗变征四月仲吕宫无射征夹锺商夷则羽大吕角蕤锺变宫应锺变征
黄锺变仲吕征无射商夹锺羽夷则角大吕变宫蕤宾变征
林锺变仲吕商无射羽夹锺角夷则变宫大吕变征
大蔟变仲吕羽无射角夹锺变宫夷则变征
南吕变仲吕角无射变宫夹锺变征
姑洗变仲吕变征无射变征
应锺变仲吕变征
案：律吕之数，往而不返，故黄锺不复为他律役，所用七声，皆正律，无空积忽微。自林锺而下，则有半声，（大吕、太蔟一半声。夹锺、姑洗二半声。蕤宾、林锺四半声。夷则、南吕五半声。无射、应锺六半声。仲吕为十二律之穷，三半声。）自蕤宾而下，则有变律，（蕤宾一变律。大吕二变律。夷则三变律。。夹锺四变律。无射五变律。仲吕六变律。）皆有空积忽微，不得其正。故黄锺独为声气之元，虽十二律八十四声，皆黄锺所生。然黄钟一均，所谓纯粹中之纯粹者。八十四声，正律六十三，变律二十一。六十三者，九七之数也。二十一者，三七之数也。六十调图第九（以《周礼》、《淮南子》、《礼记》郑氏《注》孔氏《正义定》。
宫商角变征征羽变宫