1959年我在北京读书的时候，知道天津来的同学把排队说成“挨个儿”，后来发现有些北京人也说“挨个儿”。1985年访问天津，知道天津人把“油条”说成“果子”。现在做这个题目，觉得“挨个儿”的说法颇有道理，不像把“油条”说成“果子”那样只是地域文化的沉淀。怎么证明“挨个儿”的两人如果大桶在前小桶在后就一定可以再节省时间呢？只要把他们的位置对换。比方说大桶接满需要10分钟，小桶接满需要5分钟，那么从轮到这两位开始算，原来大桶在前小桶在后，大桶者需要10分钟，小桶者要等待前面的大桶把水接满才轮到自己，所以他需要10+5=15分钟，两人合共需要25分钟。他们换位以后，小桶者先接水，他需要5分钟，大桶者在后，他需要5+10=15分钟，两人合共需要20分钟。两相比较，节约了5分钟。
但是，如果排队的都是平等的居民，上述最优化方案就实现不了。最优化方案要求水桶大的人和他后面水桶小的人对换位置，水桶大的人已经排在前面了，他怎么肯往后去呢？尽管你跟他说他往后去可以使全体总的排队时间缩短并且他也明白这个道理，可是这样换位，他自己排队的时间就延长了。以上面大桶10分钟小桶5分钟为例，持大桶者和他身后持小桶的人换位，他自己排队的时间要延长5分钟。不是讲究平等吗？凭什么偏偏让我多耗5分钟？所以，他不肯换到后面去。
看到这里，你明白经济学为什么那么讲究以意大利古典经济学家帕累托命名的“帕累托效率”。所谓“帕累托改善”，是指在没有人受损的情况下一些人得到改善。不能够再做“帕累托改善”的状况，称为“帕累托效率”或者“帕累托最优”的状况。让大桶者换到后面去，虽然许多人改善了，但是大桶者本人却受损了。所以这不是“帕累托改善”。只要大家都是关切自身利益的经济人，凡不是“帕累托改善”，就无法实现，因为哪怕总体改善，还是有人受损，受损的人不愿意。
怪不得经济学家把不能再做“帕累托改善”的状况定义成“帕累托最优”，因为经济关系是当事人自主的关系，经济行为是当事人自愿的行为，而经济学家并不设想强迫什么人做什么事。在经济学家看来，到了已经不能够再做“帕累托改善”的时候，他们的贡献也就到头了，所以他们把不能再做“帕累托改善”的状况叫做“帕累托最优”的状况。
华罗庚竞赛的题目说明，其实整体上还是可以改善的。那么，怎样实现这种整体的非“帕累托改善”呢？一种有效的办法是英明独裁，大家都听从一个为大家的整体利益着想的独裁者，这时候他们不再平等；另一种办法是民主，多数服从少数，多数人觉得水桶最大的那个人应该排到最后，他只好排到最后，最大的解决了，再对付第二大的，这样一次一次做下去，终于达到总体最优。可见，不管独裁还是民主，总有一些人不乐意。
最深刻的发现，是当水桶最大的人已经被制度安排到最后面的时候，他并不反对把水桶第二大的人从前面拉到后面，因为任何进一步的操作，都不会进一步损害他的利益。
原来，民主旗号下面发生的，可以是这样的东西。
经济学的效率药方
前面谈了如果几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，那么按照他们水桶的大小从小到大排队，这些人花在排队上面的总的时间最短。可惜这样的方案难以实施，而实行英明独裁或者少数服从多数的民主，是使它变得可行的两种途径。
但是准确地说，即使不实行英明独裁或者少数服从多数的民主，方案也不是无法实施，而只是在不许发生交易的条件下无法实施。经济学家其实都知道，如何让原来难以实施的可以使整体达到最优的方案在实践上变得可行。这里，不需要英明独裁，也不需要少数服从多数的民主，只需要允许自主的人们做交易。
还是以上次讲过的大桶接满需要10分钟、小桶接满需要5分钟的例子来说明。假定这些排队的人干活的时候工资是每分钟1角钱。原来大桶在前小桶在后，现在持小桶者可以提出和持大桶者交换位置，并且给他7角钱作为补偿，这样他自己就可以站到前面一点。关切自己利益的持大桶者应该是答应的，因为交换位置以后，他站后了一位，需要多花5分钟排队，可是他得到的补偿是7角钱，相当于补偿了干活的7分钟，两相比较，交易使他净“赚”了2分钟。提出交易的小桶者会不会因为太宽宏大量而吃亏呢？不会。因为他付出去7角钱，相当于付出去7分钟，却因为排队靠前了一位省回来10分钟。这样，他因为建议并且实施这项交易，净赚了3分钟。
你看，不需要额外的花费，只需要制度允许人们做交易，人们就能够从自愿的交易中相互得利。
那么，谁是互利交易的聪明的倡议者呢？在上面的例子中，是持小桶者。假如他没有这么聪明怎么办？这倒不用担心。如果他开始的时候没有这样聪明，几次排队下来，看见别人因为交易双???都得到好处，他也会学着这么做。我们不必担心所有人都不聪明。历史一再证明，只要制度有交易互利的空间，制度下的草民总是能够找到实现互利的途径。发达的交易形成市场。我曾经写过《市场发达大家都得益》，排队的讨论给我们提供了新的说明。
值得注意的是，假定原来就是小桶在前大桶在后，他们两者之间是没有通过交易对换位置的动机的。首先，这时候如果持大桶者提出和持小桶者交换位置的话，那么他承诺的补偿必须超过1元钱，持小桶者才肯和他交换位置。既然需要超过1元钱的补偿，相当于赔给人家多于10分钟，才能换到前一位省下10分钟，这就是亏本的交易。所以排在后面的持大桶者没有提出交易的动机。其次，如果持小桶者提出把自己的位置让给后面紧接排队的持大桶者，那么他有这种动机的前提，是企盼对方因为排前了一位而补偿给他5角钱以上，可是对方因为交换位置只节约5分钟，如果补偿给他超过5角钱，就要亏本，所以这种交易也是不可行的。
可见，已经全局最优，就不再有交易的动机。经济学称之为“最优状态的稳定性”。
上面关于排队中交易互利的推导，实际上还有一个隐含条件，就是排队者的工资水平一样。如果工资水平差别不大，上述结论仍然成立。但是如果工资差别很大，情况就不一样了。比方说你每分钟挣1角钱，排在你后面那位每分钟挣1元钱，那么不管你的桶大还是他的桶大，他都会提出交易和你换位。
假定你持大桶，他当然要提议给你足够补偿和你换位。即使你持小桶，接满需要5分钟，他持大桶，接满需要10分钟，他也愿意出2元钱甚至3元钱交换你的位置。因为换位以后你多花的10分钟值1元钱，可是他给你的补偿是2元钱，你改善了；换位以后他节省的5分钟值5元钱，可是为这5分钟他只付出2元钱，他也改善了。可见，双方一定是要做交易的。这是“帕累托改善”。
工资水平不同的情况下寻求时间配置最优，实际上已经不是华罗庚数学竞赛原来的题目了。虽然都是最优化，都是追求节省，但是原来追求的是节省时间总量，现在追求的是节省时间价值总量，老板的1分钟值你的10分钟。
你不能不服气。往深层次思考，老板根本就不和你见面，他有什么需要排队的事，就吩咐他手下每分钟工资2角钱的伙计替他排队。
你何曾见过政府高官或者企业大老板在邮局、银行、火车售票处和我们一样排队？按照日常生活中需要还是不需要排队，人们可以分成排队阶层和非排队阶层。如果存在决定意识，就难怪有时候上面不体察下情了。
这篇文章的意思是给经济学的效率开“药方”。其实，只要制度允许，那么不需要专门学习过经济学，人们也会从实践中悟出通过交易提高效率从而大家都受益的前景。