——如何有效地提高数学成绩
在数学学习中，数学概念的学习毫无疑问是重中之重。数学并不难学，只需要掌握三个字“重、精、巧”，即对例题要重读，对概念要精读，对要点要巧读。
——丘成桐
一、数学基础知识的学习方法
在学习数学的过程中需要掌握好数学各环节的学习方法，然而，数学基础知识的学习是重中之重，概念、公式、定理学不好，一切都无从谈起。
1.准确掌握数学概念的方法
现行中学数学教材中，出现的定义、性质、法则、公式、定理大约有1000余个。它如同人体的206块骨头，搭起中学数学学科的知识骨架。围绕它展开引出、证明、应用、记忆，构成了多姿多趣、丰富多彩的中学数学。也许你从未详细统计过学习了多少概念，也许你未曾意识到自己竟掌握了如此之多的概念，但当你面对数学题目的时候，头脑中却迅速地反映出相关的概念，使问题迎刃而解，这就表明你已经正确理解、准确记忆、灵活运用了你所学的概念。
对这约1000多个概念的理解、记忆、应用程度，决定着你的数学成绩。要学好数学，必须抓住主线，在概念这条主线上用功。
中学数学教学中，概念的教学通常有以下四个环节，即引出、推导、辨析和记忆。中学生要学好数学概念，不仅要掌握上述四个环节，而且还要掌握其中的方法。
(1)掌握概念的引出
概念的引出往往是教师精心设计的，认真听好教师的引言教学，不仅可激发求知欲，使心理进入积极的准备状态，更重要的是，教师可能会在引言中对概念的产生或应用对象有所交待(或提出关键性的思考问题)，这些往往是理解、记忆概念的重要铺垫。这一环节疏漏了，你的认识结构中就会出现一个空白。
定义、定理、公式等既然是对客观世界中数量关系的准确抽象，那么抽象的过程也就是前人发现和证明的过程。教师常常采取和同学们一起重涉前人之路的引入方法，这种方法可以教我们如何抽象客观现象，培养观察和探究能力。在这个时候，对同学们来说不应该把自己置身于探索者行列之外，应该认认真真地从事发现活动，研究发现过程，自己得出结论。这一步是不能省略的。
(2)掌握公式的推导
研究定理、公式的推导是使同学们的认识从感性上升到理性的途径，也是进行证明或计算的思考模具。在研究公式的推导时要注意以下四个要点：
①剖析典型。数学公式定理的推导方法很多，又都是数学论证的基本方法。尤其要注意研究那些在思路、方法、技巧方面有典型意义的定理、公式的推导。如一元二次方程的求根公式、三角函数的和差化积公式等。从这些公式的推导中我们可以学到一种重要的数学思想方法。
②借鉴技巧。研究一个公式、定理的推导过程，不亚于做几道习题。例如证明“相似三角形面积的比等于相似比的平方”。这个定理的证明非常简单，但重要的是，要从证明的过程中发现自己感觉到什么，思考它带来的启示，借鉴它提示的方法与解题技巧，然后将这些技巧应用到解题中去，你就会变得聪明了。
③寻求多种证法。公式、定理的推导过程往往有几种不同的方法，课本上一般只介绍一种，给同学们留有独立思考的余地。例如三角形内角平分线性质定理，现行教材中的证明是由作已知的三条线段的第四比例项引出的，构造出四条线段成比例图形，把要论证的线段转化成与之相等的线段。引平行线的作用就在于转移比例。教材中，只过三角形的顶点C作角平分线AD的平行线，那么过C点作AB的平行线可否转移比例?过A、B、D点作其他线段的平行线可否转移比例?不妨试试看。把所有的情况都研究之后，只有过被平分的角的顶点作平行线不能转移比例。其他六种证法两两相同。再比较这些证明方法我们看到：其一，最简单直观的还属教材中的情况；其二，例题和练习题的证题方法和结论往往是论证新问题的依据。经过这六种证明方法的探讨，同学们就会对用平行线转移比例的作用及思考方法理解得更深刻，运用得更灵活，对教材中知识的前后联系也有了系统的认识。
④排疑解惑。对概念的研究还在于排疑解惑，自己去验证它的正确性。对概念中有疑虑的地方，不妨试试看它究竟是怎样。通过自己验证排疑解惑，记忆就准确了。
(3)对概念进行辨析
“概念学多了，反而有些糊涂”，这是一些同学的感受。有这种感受并不奇怪，因为数学概念有很多是容易混淆的。从认识论的观点看，中学生的思维水平，要真正理解一个概念，仅靠引入、推导还不够，还要通过辨别、分析来澄清混淆，明确内涵、外延，深化理解。
①对比辨析。一些类似的概念，只有在对比中才能找到联系与区别，明确它们的从属关系，关键是要抓区别，通过对比，既知道了各概念间的共同属性，又知道了它们各自的不同属性，运用时就再不会糊涂了。
②变式辨析。对概念进行变式分析和应用，能够进一步掌握概念的特征及广泛效能。定义、定理、公式一般都可用数学符号来表达其对象间的关系。一个关系式里包含的几个量，虽有固定的关系，但不一定有惟一固定的形式。对形式进行合理变式，可得到更多的结论。变式辨析的一般方法是：a.单向递进式联想；b.双向可逆性联想；c.恒等变形。但要注意：在多种变式中，一定要首先深刻认识原公式、定理的特征。另外有些定理往往难解其意，用起来也很被动，这就要把它大解剖，析理清楚，运用起来就得心应手了。
③条件辨析。有些公式是在一定条件下才成立的。条件变了，则可能导出错误的结论。因此，要正确运用公式，就要弄清条件的来龙去脉。当公式的条件较多时，要弄清提供这些条件的原因，避免条件间发生交叉错误。有的时候学习的公式都带条件，弄得人眼花缭乱，用公式时不知如何是好。如代数中根式的性质和幂的运算性质19个，都有适用条件，但只要认真分析，你会发现所有的条件其实可以分别归属于两类，只要记住了这两条，19个性质的条件就全记住了。
(4)概念的记忆
数学的概念必须牢牢记住，只有记住了，才谈得上计算、运用和论证，否则是不可能有解题能力的，因此，同学们应学会一些记忆的方法。
2.数学定理、公式的学习方法
(1)建立、发展和完善数学认知结构
数学学习，就是把数学知识结构(指教材)经过积极主动的思维活动，转化为头脑里的数学认知结构。因此，在定理学习中，数学认知结构的建立、发展和完善，处于核心地位。
①打好基础，建立优良的数学认知结构。学习一门数学的新课程，或学习某一课程中与前面知识没有多大联系的新课题时，开始都会碰到一系列新的概念、公理、思想方法，以及一些简单的、基础的定理、公式等，这些内容不可能被原有的认知结构所同化，只能从实例、模型或已有经验中抽象概括，形成新的概念、公理、方法等，从而建立起一个新的数学认知结构。例如，平面几何入门阶段的学习，就处于建立新的数学认知结构的过程中。这个新建立的数学认知结构，就是今后学习的基础，它的优劣直接影响以后学习的好坏，因此显得十分重要。数学家张广厚曾说过：“我在念一本新书时，开头我特别下功夫，由于开头都是基础的东西，基础的东西往往是容易接受却难理解，特别是高等数学是这样……中学学习也是一样，开头简单，自己认为懂了，实际没懂，不下功夫，过两三个月就吃力了。要入门，就要开头下功夫，我觉得开头的基础要搞扎实。”他这番话，道出了入门阶段学习的重要性，反映了开始时建立优良认知结构的必要。事实上，从学生学习平面几何起始阶段的情况，也可说明这一点。新建立的认知结构是后继学习的基础，它具有较高的抽象、概括水平，所以这些内容虽然简单，但学习的要求却很高，应引起特别注意。尤其是采用公理化方法编写的教材，这一点表现得更为明显。
②循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良好发展。数学是一门系统性很强的学科，前后内容紧密相联，一环紧扣一环。在学习时，若对某一环学得不扎实，认识模糊不清，就会直接影响认知结构的良好发展。如果不及时解决，那么继续学习下去就只能是机械学习，这时认知结构中出现的都是一些孤立的“点”，不仅容易遗忘，而且失去应用的价值，结果导致学习的失败。
在学习每一个定理、公式时，都要清楚地知道怎样一步步得出结论，运用了哪些概念、公理、定理或公式，使用的是什么方法等等。要知其然还要知其所以然，而不能只记住其条件和结论。命题学习过程是一个积极的思维活动过程，从感知定理的情境(信息输入)，接着进入思维(信息加工)，即与原有认知结构中适当的知识建立联系，相互作用，进行同化，然后把它纳入原有认知结构(储存)，并使原认知结构得到发展。在这个思维活动中，既要理解证明过程，更要从中学习到数学的思想方法和解题途径。这对发展认知结构，具有重要意义。例如，在圆周角定理的证明过程中所体现的分类、化归的方法等，就有积极的作用。因此，那种尽量缩短命题学习的时间来加快学习进程的做法，是不可取的。
③精炼所学知识，不断完善数学认知结构。数学认知结构也有一个形成、发展到完善的过程，它处于不断变化之中。并且，认知结构的大小也是相对的，大可以指整个中学阶段数学认知结构，小可以指某章某节的认知结构，也可以指某部分内容的认知结构。因此，每到一个阶段，就要进行提炼，改善原有认知结构，提高抽象、概括水平，以便有助于今后的学习和应用。通常，阶段复习、学期复习就应起这个作用。数学家华罗庚谈到学习有一个“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。他说：“要真正学会学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来……这看起来你得到的东西似乎比以前少了，但实质上经过消化，变成精炼的东西了。”华罗庚在这里特别强调了“由厚到薄”的重要性，反映了改进、完善数学认知结构的重要性。例如，初中学完代数方程后，可以对方程的解法进行整理、提炼，得出基本思想——“转化”、“降次”、“消元”，达到了高度概括、简缩；再由知识“点”、“线”组成知识的“网络”，揭示内在的联系(如图4-1所示)，从而完善了这一部分的认知结构。如果学习者在学习过程中经常进行这方面的工作，则不仅对数学知识会有更深入的认识，而且还有助于能力的提高与发展。
(2)几种有效的公式、定理记忆法
①对比记忆法。
就是把相互对立或近似的知识放在一起对比记忆。常见的有相似对比、正反对比等。
如：两个三角形全等和相似的判定条件，就可以这样对比记忆：
A.两三角形全等B.两三角形相似
a.两边对应相等，夹角相等；
b.两角对应相等，夹边相等；
c.三边对应相等。a.两边对应成比例，夹角相等；
b.两对应角相等；
c.三边对应成比例。
小结：角，相等——相等；边，相等——成比例。
这样对比记忆能突出两者的异同点，给人以鲜明深刻的印象，对加强记忆十分有利。
②分类法。是根据研究的需要，按照一定的原则对研究对象的一个划分，通过分类、有助于我们对数学概念的掌握和记忆。
初中数学教材中分类思想的应用比比皆是：有理数的分类、直线位置关系的分类等等。
正确完整的分类应该满足下列原则：①按同一标准分类；②没有遗漏；③没有重复。
如把有理数分为正有理数
负有理数
这就遗漏了既不是正有理数，又不是负有理数的有理数“0”。
分类，能帮助我们把纷繁的材料或研究对象条理化、系统化，形成简化的、有效率的思维方式。需要注意的是应把握好在什么情况才需要分类及如何分类，盲目的分类及分类不当反而会把简单的问题复杂化，把复杂的问题弄得更加复杂。
③形象直观法。即
是通过图形的直观形象，帮助记忆定理、公式的方法。如果掌握了公式的推导方法，并结合图形强化记忆，有利于在运用中巩固记忆。
下面我们介绍借助图形记忆有关公式：
A.平方差公式
图4-2
(a+b)(a-b)=a2-b2
如图4-2，则有
图4-3(a+b)(a-b)
=(a2-ab)+(ab-b2)
=a2-b2
B.两数和的平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
如图4-3，则有
(a+b)2
=a2+b2+ab+ab
=a2+2ab+b2
C.两数差的平方公式(a-b)2
=a2-2ab+b2
如图4-4，则有
(a-b)2
=a2-b(a-b)-b(a-b)-b2
=a2-ab+b2-ab+b2-b2
=a2-2ab+b2
D.三项式的平方公式(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
如图4-5，则有
(a+b+c)2
=a2+b2+c2+ab+ab+ac+ac+bc+bc
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
二、提高数学运算能力的方法
运算能力可谓是学习数学的重头戏，掌握各种计算的技巧，不但能提高运算速度，而且对提高数学运算能力也很有帮助。
1.有理数计算的技巧
做有理数计算时，除了牢固掌握运算法则，正确使用运算定律外，还应有一个更高的要求，就是避繁就简，这就需要我们根据算式的结构特征，寻求简捷的方法。根据这一原则我们提出下面的常用计算技巧。
(1)先把互为相反数的两个数相加
例①：计算(-1.5)2-(-313)-(+214)
解：原式=2.25+313-214
＝(2.25-214)+313
＝313
(2)先把相加后得整数的数凑在一起相加
例②：计算449+(-5.2)+(+559)-(+10.8)
解：原式＝(449+559)+(-5.2-10.8)
＝10-16
＝-6
(3)先把同号的数相加，即先把正数和负数分别相加
例③：计算(-3)-(+18)+(-24)-(-36)+(+12)
解：原式＝(-3-18-24)+(36+12)
＝-45+48
＝3
上面提出的三个技巧的实质是先把容易相加的数先加，或相加后得数整齐的数先加。
(4)反用运算律
例④：计算47.5×(-0.1997)-0.475×(-9.97)
解：原式＝4.75×(-1.997)-4.75×(-0.997)
＝4.75×(-1.997+0.997)
＝4.75×(-1)
＝-4.75
例⑤：计算(-4317)×2215-8317×141315-4×(-141315)
解：原式＝(-4317)×2215+141315×(-8317+4)
＝(-4317)×2215+141315×(-4317)
＝-4317×(2215+141315)
＝-4317×17
＝-71
(5)合理选择运算顺序
例⑥：计算421819-831617-401617.
解：原式＝831617-421819-401617
＝43-421819
＝119
反用运算律、合理选择运算顺序的立足点是要细心观察，积极思考，克服定势思维的干扰，这样才能做到避繁就简，巧妙计算。
2.整数平方的速算
为了便于发现规律，我们列出一部分平方数：
112＝121212＝441312＝961412＝1681
122＝144222＝484322＝1024422＝1764
132＝169232＝529332＝1089432＝1849