书城教材教辅新课改·高一数学备课素材
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第16章 函数(5)

我们知道:一个回归年不是恰好365日,而是365日5小时48分46秒,或365.2422日。为了防止这多出的0.2422日积累起来,造成新年逐渐往后推移。因此我们每隔4年时间便设置一个闰年,这一年的二月从普通的28天改为29天。这样,闰年便有366天。不过,这样补来也不刚好,每百年差不多又多补了一天。因此又规定,遇到年数为“百年”的不设闰,扣它回来!这就是常说的“百年24闰”。但是,百年扣一天闰还是不刚好,又需要每四百年再补回来一天。因此又规定,公元年数为400倍数者设闰。就这么补来扣去,终于补得差不多刚好了!例如,1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年;而1900、2100这些年则不设闰;2000年的年数恰能被400整除,又要设闰,如此等等。

闰年的设置,无疑增加了我们对星期几推算的难度。为了揭示关于星期几的奥秘,我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数。

公元1800年,德国数学家高斯在研究圆内整点问题时,引进了一个函数y=[x]

后人称之为高斯函数。

[x]是表示数X的整数部分,如:

[π]=3

[—4.75]=—5

[5—12]=0

[1988]=1988

利用高斯函数,我们可以根据设闰的规律,推算出在公元X年第y天是星期几。这里变量X是公元的年数;变量y是从这一年的元旦,算到这一天为止(包含这一天)的天数。历法家已经为我们找到了这样的公式:

s=x—1+[x—14]—[x—1100]+[x—1400]+y

按上式求出S后,除以7,如果恰能除尽,则这一天为星期天;否则余数为几,则为星期几!

例如,君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日。容易算得:

x—1=320y=66

s=320+[3204]—[320100]+[320400]+66

=320+80—3+0+66

=463≡1(mod7)

最后一个式子的符号表示463除以7余1。也就是说,这一天为星期一。这是可以预料到的,因为当初就是这么规定的!

又如,我们共和国成立于1949年10月1日:

x—1=1948y=274

s=1948+[19484]—[1948100]+[1948400]+274

=1948+487—19+4+274

=2694≡6(mod7)

原来,这一普天同庆的日子为星期六。

公元2000年1月1日,人类跨进了高度文明的21世纪,那么这一天是星期几呢?

x—1=1999y=1

s=1999+[19994]—[1999100]+[1999400]+1

=1999+499—19+4+1

=2484≡6(mod7)

计算表明:这一天也是星期六!

并非危言耸听

公元1972年,尼克松被再次当选为美国总统后,建议美苏两国联合攻克癌症。建议立即被采纳。美方赠送了苏供研究的23种致癌病毒;苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本。

翌年一月,美国国立癌症研究中心决定,将前苏联的癌细胞标本分送给几位科学家研究。其中的一份,送到了加州细胞培养所长实验所所长尼尔森芮斯博士手上。

尼尔森芮斯经过几番周折,终于弄清了,所有苏方赠送的六各标本,全是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞。

原来拉克丝1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌。这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力和生命力。拉克丝从发现第一个病灶到死亡,整个过程不足八个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养,发现这些癌细胞竟以y=A0·2x。

这样的指数曲线疯狂地生长!每24小时便增加一倍(上式中A0为原始数量,X为天数)。就这样,这种新发现的癌细胞被命名“海拉”,并被严格控制于实验室。

“海拉”细胞在不足一个月时间内,便能增加数千万倍,这使过去一直认为的,健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象,得到了新的解释。原来所谓“自发”转变,只不过是“海拉”细胞消灭并占领了整个培养物!

然而事过二十多年,“海拉”细胞不仅没有死亡,而且还令人费解地流到国外,出现在莫斯科!于是,尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟:“如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长,那么到现在为止,它们很可能已经占领整个世界!”

这是危言耸听吗?不!这是科学的结论!

如果任其疯狂生长,那么按理论计算,一年后将达到y=A0·2365。

现在,我们已经有了对数工具,让我们计算一下,这个数字究竟有多大lgy=lgA0+lg2365。

=lgA0+365×lg2

=lgA0+365×0.3010

lgyA0=109865

从而y=7.328×10109A0

这样多的细胞,不必说占领整个地球,就是占领整个宇宙也不算过分!

好在人类已经学会了对生物的有效控制,才制止了这种有害生物指数般的繁殖和生长。

具有讽刺意味的是:人类虽然很早就注意控制生物,却迟迟才注意控制人类自己,世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着!

公元初地球上的人口不足2亿5千万人,到公元1650年世界人口也才达到5亿,让我们计算一下这段期间世界人口的增长率P:

∵5×108=2.5×108(1+P)1650

∴2=(1+P)1650

lg2=1650lg(1+P)

∵lg(1+P)=0.3010÷1650=0.0001824

∴1+P=1.00042

P=0.042%

这就是说,在公元后的1600年里,人类人口每年只平均增长万分之四多一些。然而,从公元1650年到公元1800年,仅一个半世纪,世界人口又翻了一番。可以算出这期间世界人口增长率为0.46%,比前面高了十倍!而从1800年到1930年,世界人口再次翻番,达20亿。1960年达30亿,1975年达40亿,1987年达50亿……世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上方!

科学家们告诫说:我们这个赖以生存的地球,最多只能养活80~100亿人类。然而,按目前世界人口的增长速度,公元2000年,世界人口将达65亿,而公元2025年将突破100亿!再下去地球将无法承担这一负荷,人类将最终毁灭自己!

这是危言耸听吗?不!这是科学向人类提出的警告!

公元1987年7月11日,生活在这个星球上的第50亿个人,在南斯拉夫的萨格勒布市诞生了!这一天联合国人口活动基金会组织,向世界各国首脑,分别赠送一台特制的“人口钟”。这是一种奇异的计时器,除通常钟表功能外,还能显示该时刻世界总人口的预测数,及每分钟各国人口的变化,它将随时提醒各国首脑重视人口问题。

地震与对数

用数学方式描述自然现象似乎是人类的需要。大概人们希望从中发现一些方法,以便能够控制自然——也许只是通过预报。

就像地震那样,初看起来似乎很难与对数之间有什么关联。但用以测量地震强度大小的方法,却把两者联系起来。美国地震学家C·F·里兹特,在1935年设计了一种里氏震级。那是由地震的震中释放出的能量来描述。里氏震级是释放能量的对数。里氏度数上升1级,地震仪曲线的振幅增大10倍,而地震能量的释放大约增加30倍。例如,一次5级地震是一次4级地震释放能量的30倍;而一次里氏8级地震所释放的能量,差不多是一次里氏5级地震的303即27000倍。

里氏震度从0到9分为十级。但从理论上讲,它并没有上限。大于45级的地震便会造成损害。强烈地震的震级大于7。如1964年阿拉斯加地震为里氏84级;而1906年旧金山地震为里氏7.8级。1976年唐山大地震为里氏7.8级。2008年5月12四川大地震为里氏8.0级。

今天,科学家们把对地震的研究,纳入了地震学和地球物理学的领域。精密的仪器和方法被找到或被设计出来。最早的仪器之一——地震记录仪一直使用至今。它能自动地发现、测量地震或其他大地震动,并绘制出相关的图表。

追溯和预测

公元1896年,法国物理学家贝克勒尔发现,铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线,这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想,该不是只有铀才能发出射线吧!经她悉心研究,终于又发现了一些放射性更强的元素。

公元1903年,杰出的英国物理学家卢瑟福,设计了一个极为巧妙的实验,证实了放射性物质放出的射线有三种,而且在放出射线的同时,本身有一部分蜕变为其他物质。蜕变的速度不受冷热变化、化学反应及其他外界条件的影响。

经科学家们不懈努力,人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律:即蜕变的变化量m,与当时放射性物质的质量m及蜕变时间成正比。也就是说:

m∝—mt

右端的负号是因为蜕变后放射性物质减少的缘故。

上式写成等式便是:

m=—kmt

其中m=m0e—kt

下面我们计算一下,究竟需要多长时间,才能使放射性物质蜕变为原来的一半。为此,令m=12m0,于是:

12=e—kt

lg12=—kTlge

从而T=lg2klge=0.693×1k

这是一个常量,这个常量只与放射性物质本身有关,称为该放射性物质的半衰期。右上图画的是镭的衰变情况:每隔1620年质量减为原来一半。下表列的是一些重要放射性物质的半衰期。

元素同位素符号半衰期

钍Th2321.39×1010年

铀IU2384.56×109年

镭Ra2261620年

钋IPo210138天

钋IIPo2141.5×10—4秒

钋IIIPo2160.16秒

铀IIU2342.34×105年

铀是最常见的一种放射性物质,由上表得知,它的半衰期为45亿6000万年。也就是说,过45亿6000万年之后,铀的质量剩下原来的一半。由于铀蜕变后,最后变成为铅,因此我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅,便可以算出岩石的年龄。科学家们正是利用上述的办法,测得地球上最古老岩石的年龄要为30亿年。当然,地球年龄要比这更大一些,估计有45至46亿年!

应用上面的数学方法,不仅可以使我们科学地追溯过去,而且可以帮助我们科学地预测将来。在儒勒·凡尔纳的《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里,作者描述了一个精彩动人的故事:

“已经移去了两旁撑住船身的支持物,船准备下水了。只要把缆索解开,船就会滑下去。已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着。”观众满怀着好奇心注视着这件工作。这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方,出现在人们的眼前。原来这艘快艇要进港口,必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞前面。所以一听见快艇发出信号,大船上的人为了避免发生意外,就停止了解缆下水的操作,让快艇先过去。假使这两条船,一条横着,另一条用极高的速度冲过去,快艇一定会被撞沉的。

工人们停止了锺击。所有的眼睛全都注视着这只华丽的船,船上的白色篷帆在斜阳下像镀了金一样。快艇很快就出现在船坞的正前面。船坞上成千的人都出神地看着它。突然听到一声惊呼,“特拉波科罗”号正当快艇的右舷对着它的时候,开始摇摆着滑下去了。两条船就要相撞了!已经没有时间、没有方法能够防止这场惨祸了。“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去……船头上卷起了因摩擦而起的白雾,船尾已经没入了水。

突然出现了一个人,他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索,用力地拉,几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟,他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险,用超人的气力,用手拉住缆索大约有10秒钟。最后,缆索断了。可是这10秒时间已经很足够:“特拉波科罗”号进水以后,只轻轻擦了一下快艇,就向前驶了开去!

快艇脱了险。

下面我们用数学的方法来分析一下“特拉波科罗”号事件:

公元1748年,瑞士数学家欧拉在他的传世之作《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题。欧拉发现:对于一个很小的转角a,绳子的张力差的量值T与T及a成正比。即:

T∝α

写成等式为T=—kTα

式中k为摩擦系数,负号是因为问题中张力的值是减少的。

其中T=T0e—ka

这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式。

现在转到故事中来。假定“特拉波科罗”号船体重50吨,船台坡度为1:10,那么船的下滑力约为5吨,即5000公斤;又假设马蒂夫来得及把缆绳在铁桩上绕了三圈,即:

a=2π×3=6π;

而绳索与铁桩之间的摩擦系数k=0.33。

把上述数值代入欧拉公式,便可得到马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气力T(公斤)为:

T=5000×e—0.33×6π

T的值是很容易用对数的方法求出来的:

lgT=lg5000—0.33×6×3×3.1416lge

=3.6990—0.33×6×3.1416×0.4343

=0.9975

T=9.943(公斤)

这就是说,儒勒·凡尔纳笔下那位力挽狂澜的“大力士”。实际上所用的力气不足10公斤。这是连一个少年都能做得到的!

轮流骑车何时到?

甲、乙两人骑自行车旅行,某甲中途车坏,只好停下来修理,但最后因无法修复而决定舍弃坏车,继续前进。然而,此时两人只有一车,于是约定:一人骑车,一人步行。骑车的人到某一地方把车留下,改为步行;而后面步行的人,起到留车的地方换成骑车。骑一段时间后又改成步行,把车留给后者。如此这般,两人轮流骑车。问从某甲车坏时起,最少需要花多长时间,两人才能同时抵达目的地?

假定车坏处(O)与目的地(E)之间的距离为60公里,自行车速度为15公里/小时,步行速度为5公里/小时。

下面让我们通过作图来探讨一下可能的解答:

以O为原点,时间为X轴,距离为Y轴,建立坐标系XOY,由于人步行的速度和自行车速度都是变化过程中的常量,因此它们分别表现为坐标系XOY中的射线OC和OD。

如上图(A),令E1、E2分别为甲、乙两人车坏后第一次和第二次相遇的地点。此时,某甲先是步行到A1,然后骑车经过E1抵达A2,又改成步行到E2;而某乙则先骑车到B1,然后由B1步行经E1到达B2,又改成骑车抵E2;当然,在E2相遇后各人依然继续前行。由于车速和人速始终保持不变,所以表示骑车或表示步行的线段,应当各自平行。即四边形OA1E1B1及E1B2E2A2均为平行四边形。又注意到甲改步行为骑车,与乙改骑车为步行,位于同一地点。因此线段A1B1及A2B2等都平行于X轴。假定两次换车的地点距O处分别为y1,y2公里。则因射线OC、OD的方程为:

OC:y=5X

OD:y=15x

可得A、B两点的坐标如下:

A(y15,y1),B(y115,y1)

从而E1点坐标(xE1,yE1)为:

xE1=xA+xB=y15+y115=415y1

yE1=yA+yB=2y1

∵yE1xE1=2y1415y1=152