∴yE1=（152）xE1
这表明E1点位于由原点发出的斜率为152的射线上。同理，E2，E3，……也应当都位于这条射线上。再由于O点离目的地E距离为60公里，因此到达的时间X应满足：
60=（152）x
从而X＝8（小时）
上述结果表明：不管甲乙两人在路途上骑车、步行怎样换来换去，只要是同时到达目的地，所用的时间总是8小时！这一类变量中的常量，并不是所有人一开始都能知道的。
有时某些变化的量中，总保持着某种特定的关系。一个最常见的例子，就是两个正数x1、x2的以下关系式：
x1+x22≥x1x2
等式当且仅当x1=x2时才成立。
上面的正数算术平均值与几何平均值的关系式，可以推广到n个数。即对于n个正数x1，x2…，xn有：
x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn
等号当且仅当x1=x2=…=xn时才成立。
上述不等式的一个简单而巧妙的证明，是利用对数函数y＝lgx图像的凸性。所谓函数图像在某区间的凸性是指：在该区间函数图像上的任意两点所连成的线段，整个地位于函数图像的下方（或上方）
现设x1，x2，…xn为n个正数，已按从小到大排列。又A1为相应于横坐标为x1的、y＝lgx图像上的点。易知，多边形A1，A2，…An为凸多边形，因此点系重心？G（x，y）必位于多边形内。即有：
lg≥
∵=x1+x2+…xnn
=lgx1+lgx2+…lgxnn=lgnx1x2…xn
∴lgx1+x2+…+xnn≥lgnx1x2…xn
从而x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn
等号当且仅当x1，x2…xn都相等时才成立。
上述不等式在数学的许多领域，有着广泛和有趣的应用，它充满着特殊价值！
淡水鱼养殖与政府补贴
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000（x+t—8）（x≥8，t≥0）
Q=50040—（x—8）2（8≤x≤14）
当P=Q时，市场价格称为市场平衡价格。将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域。
解：按平衡价格定义有
1000（x+t—8）50040—（x—8）2，
化简得5x2+（8t—80）x+（4t2—64t+280）=0
当=（8t—80）2—20（4t2—64t+280）=800—16t2≥0，即
0≤t≤50时，可解得方程x=8—45t+2550—t2
由0≤t≤50及8≤x≤14得不等式组
（I）0≤t≤508≤8—45t+2550—t2≤14
（II）0≤t≤508≤8—45t—3550—t2≤14
解不等式组（I）得0≤t≤10，不等式组（II）无解，所以，所求函数是：
x=8—45t+50—t2
函数的定义域为t∈［0，10］
在这里，如果仅从函数式有意义出发，须得函数定义域为—50≤t≤50显然是错误的，需要将模型所求结果还原到实际问题中。
轮船航行的费用
轮船航行的费用分为两部分，第一部分是轮船折旧费及其他服务费，每小时480元，第二部分为燃料费，它与航速的立方成正比，并且当速度为10公里/时的时候，燃料费为每小时30元，问航行速度为多少时，才能使航行每公里的费用最小？并求出这个最小值以及此时每小时费用的总和。
解：第一部分的费用为480元/时，它是一个常量，第二部分的费用是关于速度的函数，需根据题设条件求出它的函数解析式。
设第二部分的燃料费为t元/时，航速为z公里/时，则t=kx3。将x=10，t=30代入t=kx3，得30=k·103，所以k=3100，t=3100x3。因此，航行的费用为3100x3+480。
设每公里费用的总和为y元/公里，则
y=（3100x3+480）1x=3100x2+480x
=3100x2+240x+240x
≤3·33100x2·240x·240x=36
当且仅当3100x2=240x，即x=20时等号成立。此时每小时费用的总和为720。
所以航速为20公里/时时，每公里费用最小，最小值为36元/公里，此时每小时费用的总和为720元/时。
污水处理方案
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。
方案1：工厂污水先净化处理后再排出。每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理。每处理1立方米需付14元的排污费。
问：
1.设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式；（利润＝总收入—总支出）
2.设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案，请通过计算加以说明。
解：（1）设选用方案1每月利润为y1元；选用方案2每月利润为y2元。
依方案1，可得
y1＝（50—25）x—2×0.5x—3000
＝25x—x—30000
＝24x—30000.
∴y1＝24x—30000.
依方案2，可得
y2＝（50—25）x—14×0.5x
＝25x—7x
＝18x
∴y2＝18x
（2）∵当x＝6000时，
y1＝24x—30000＝24×6000—30000＝114000（元），
y2＝18x＝18×6000＝108000（元），
∴y1＞y2.
富兰克林的神奇遗嘱
美国著名的科学家、避雷针的发明人，本杰明·富兰克林（1706—1790年），一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有一千英镑。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的：
“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这款子过了100年增加到131000英镑。我希望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年。在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了！”
富兰克林，留下区区的1000英镑，竟立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下。请看下表：
从而bn=AnA0=（1+5%）n
上式显然是函数y=ax当a=1.05时的特例。在数学上形如y=ax的函数称为指数函数，其中a约定为大于0且不等于1的常量。
下图画出了指数函数y=2x，y=10x，y=（12）x的图像。从图像容易看出：当底a大于1时，指数函数是递增的，而且越增越快；反之，当底a小于1时，指数函数递减。让我们观察故事中bn=1.05n值的变化，不难算得：
当x=1时，b1=1.05；
当x=2时，b2=1.103；
当x=3时，b3=1.158；
当x=100时，b100=131.510。
这意味着，上面的故事中，在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到：
A100=1000×1.05100=131501（英镑）
这比富兰克林遗嘱中写的还多出501英镑哩！在第二个100年末，他拥有的财产就更多了：
A′100=131501×1.05100=4142421（英镑）
可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的！
由此可见，指数函数的威力。
遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌。
拿破仑之玫瑰花悬案
波拿巴·拿破仑——这位伟大的军事家凭着智慧和雄心最终成为了法兰西人的皇帝。拿破仑自幼喜欢数学，对数学有着特殊的兴趣。在巴黎军校学习期间，拿破仑有段时间曾经致力于数学研究，在这期间，他还结识了拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等一批有名的数学家。就是在做了统帅之后，拿破仑仍不放弃对数学的研究，他曾提出“拿破仑问题”——著名的四等分圆问题，并饶有兴趣地进行研究。至今，几何学上还有一条归属于他名下的几何定理：若在任意三角形的各边向外作等边三角形，则它们的外接圆圆心也构成一个等边三角形。
然而，就是这样一位对数学颇有研究的皇帝，却不小心掉进了指数设下的陷阱。1797年，伟大的波拿巴·拿破仑皇帝协同他新婚的妻子约瑟芬皇后参观了卢森堡大公国第一国立小学。在那里，受到全校师生的热情款待。
在辞别的时候，伟大的拿破仑皇帝慷慨、潇洒地给该校校长送上一束价值3个金路易的玫瑰花。他说：“为了答谢贵校对我，尤其是我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅仅今天呈上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们的法兰西国家存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”然而，事过境迁，疲于连绵的战争和此起彼伏的政治斗争，最终惨败并被流放的拿破仑，把在卢森堡的许诺早忘得一干二净。可是，卢森堡这个欧洲小国，却把这段“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切和睦相处的一刻”载入了他们的史册，还编成画册和儿童文学故事，成了一则脍炙人口的美谈。
历史前进的脚步一刻也不停息，转眼近一个世纪的时光过去了。1894年，这件相隔近1个世纪的故事却给法国惹了个大麻烦——卢森堡政府通知法国政府，提出了“玫瑰花悬案”索赔。要求：要么自1797年起，用3个金路易作为一束玫瑰花的本金，以五厘复利记息（就是利滚利）结算，全部偿清这笔玫瑰花外债，共计1375596法郎；要么法国各大报纸承认你们的一代伟人拿破仑是个无信的小人。
这一历史公案使法国政府处于极为尴尬的局面，因为只要法国存在一天，此案就永无了结的可能。
但是为了拿破仑的声誉，法国政府还是准备支付这笔巨款。但是，又出现了另一个问题，如果法国政府支付这笔外债，也即是承认伟大的拿破仑没有履行自己的承诺。
经过一番冥思苦想，法国人用如下措辞取得了卢森堡人的谅解：“今后，无论在精神还是物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小教育事业予以支持和赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的‘玫瑰花’誓言。”
古今大数谈
在阿拉伯数字输入欧洲之前，欧洲普遍使用的是罗马数字。罗马数字中用L、C、D、M分别表示50、100、500、1000。
罗马数字不是进位制的，写起来非常麻烦，比如3888要写成：MMMDCCCLXXXVIII，一个四位数要写上长长的一行。
罗马数字的符号，在民间流传到一千就截止了，下一个数五千没有给出特殊的符号。可以推想，用罗马数字记一个上百万、上千万的数要写满一页纸。由于写出一个大数都很困难，人们很少去谈论大数。
古希腊著名学者阿基米德是历史上最早提出大数的人。他在《沙的计算》一书中说道，有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛，或者在全世界所有有人烟和无人迹的地方，沙子的数目是无穷的；也有人认为沙子数目不是无穷的，但是想表示沙子的数目是办不到的。但是我的计算表明，如果把所有的海洋和洞穴都填满了沙子，这些沙子的总数不会超过1后面有一百个零。
“1后面有一百个零”这个数是10100，好大一个数！如果读出来，就是一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿！日常遇到的大数很难超过它。比如，太阳很重，它的重量大约有二千亿亿亿吨，用科学记数法来写也只是2×1027吨；河外星系的恒星有的距离我们一百万万光年，也就是1010光年，1光年表示光走一年所走过的距离，光速为30万千米/秒，一年约3×107秒，可算出这颗恒星离地球的距离是：
3×105×3×107×1010=9×1022（米）。
这个数也比10100小得多。
10100这个数很重要，有必要给这个大数专门起个名字。1940年，爱德华·卡斯纳和詹姆士·纽曼把10100叫做“古戈”。
有没有比1个古戈更大的数呢？
当然有，数学上有个著名的“斐波拉契数列”，它是由12世纪意大利的莱昂纳多·斐波拉契首先提出来的。他说：“有一对小兔，若第二个月它们成年，第三个月生下一对小兔，以后每月生下一对小兔，而所生的小兔也在第二个月成熟，第三个月生下另一对小兔，以后每月生下一对小兔，问一年后共有兔几对？”（这里假设每生下一对小兔必是一雌一雄，雌兔都可以生育，并且没有死亡）。
从第一个月开始，兔子的对数依次为1，1，2，3，5…一年后共有兔子144对，计288只。容易看出，从第三项开始每一项都等于前两项之和。按着Fn=Fn—1+Fn—2（其中Fn—1代表这串数中的第n项，n≥2）的规律，可以把这串数一直写下去。这串数增大得非常快，到第五百七十一个月，即F571，已知大于一个古戈了：F\571>9.6×10118。
古戈在实际生活中是个非常大的数，可是在数学研究中古戈又显得太小了。比如西德汉堡大学的计算中心，前几年发现了一个有7067位的大质数。只有一百零一位的古戈，比起有七千多位的大质数，当然是小巫见大巫喽！为了能表示更大的数，数学家又规定了“古戈布来克斯”。1个古戈布来克斯等于1010·10或写成10102，它有一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿个零！它的零太多了，有人打过比喻，如果把每个孩子当作一个零的话，一万亿个宇宙中全部核子个数，还不够1个古戈布来克斯的零的个数。
常函数和指数函数
常函数和指数函数ex走在街上，远远看到微分算子，常函数吓得慌忙躲藏，说：“被它微分一下，我就什么都没有啦！”
指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是ex！”
指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道：“你好，我是ex。”
微分算子道：“你好，我是d/dy！”
数学谜语（二）
1.断纱接头（打一数学名词）；
2.抬头望月正好初八（打一三角函数名）；
3.一笔债务（打一数学名词）；
4.两牛打架（打一数学名词）；
5.大甩卖（打一数学名同）；
6.再见吧妈妈（打一数学名词）；
7.医生提笔（打一数学名词）；
8.99（打一成语）；
9.110（打一成语）；
10.103与1002（打一成语）；
11.大同小异（打一数学名词）；
12.并驾齐驱（打一数学名词）；
13.周而复始（打一数学名词）；
14.考试不作弊（打一数学名词）；
15.夏周之间（打一数学名词）；
16.捷道（打一数学名词）；
17.算盘珠（打一数学名词）；
18.联合国宪章（打一数学名词）；
19.岁岁重阳，今又重阳（打一数学名词）。
谜底