第1年年末存入的p元现金，到第n+1年年初，共n—1年，逐年获得本利和依次构成公比为1+k的等比数列，即p（1+k）n+1；
同理，第二年末存入2p元，…，第n年末存入元的本利和，依次为2p（1+k）n—2，…，np。问题即为数列求和。
解：设此人第n+1年初一次性获得养老保险金为Sn元，
则Sn=p（1+k）n—1+2p（1+k）n—2+…+（n—1）p（1+k）+np（1）
（1+k）Sn=p（1+k）n+2p（1+k）n—1+…+（n—1）p（1+k）2+np（1+k）（2）
（2）—（1），得
ksn=p（1+k）2+p（1+k）n—1+…+p（1+k）—np
=p（1+k）［（1+k）n—1］k—np，
∴Snp（1+k）［（1+k）n+1—（n+1）k—1］k2（元）
故第n+1年年初此人一次性获得养老金为
p（1+k）［（1+k）n+1—（n+1）k—1］k2（元）
猴子分花生
1962年北京市中学生数学竞赛高中二年级第二试有这样一个有趣的题：把1600颗花生分给100只猴子。求证：无论怎么分都会有四只猴子分得的花生一样多。
我们边分析边计算研究一下这个问题：
假如我们想设计一种分法，希望没有四只猴子分得的花生一样多，显然，最省花生的办法是给三只猴子各0颗花生，给三只猴子各1颗花生，给三只猴子各2颗花生，给三只猴子各3颗花生，…，给三只猴子各32颗花生，给最后一只猴子33颗花生。这相当于我们把这100只猴子中的99只平均分成33组，每组中的猴子各得0~32颗花生，最后一只猴子分得33颗花生。
如果这种分配方案所需的花生总数少于1600颗，可以把剩下的花生都给最后的那只猴子，这样可以保证没有四只猴子得到一样多的花生。
如果这种分配方案所需的花生总数恰好是1600颗，那正符合我们的心意，恰好把1600颗花生分给100只猴子，没有四只猴子分得一样多的花生。
但是如果这种分配方案所需的花生总数多于1600颗，而我们仅有1600颗花生，则这个方案将实现不了，那时必然会有猴子实际得到的花生比按这种方案规定它应该得到的花生少，于是它实际上相当于落入它前面的某一组。
当然，如果某一只猴子由于实际得到的花生数量少于按方案应分得的数量而实际上相当于落入了它前面的某一组，而它相当于落入的这组又有一只猴子实际上相当于落入更前面的组，那么与它分得同样多花生的猴子的总数（包括它本身）也许不大于3。但是，就这34组100只猴子的总体而言，所有那些因为实际花生数量比方案所要求的数量少而没有分得按方案规定所应分得的数量从而实际上落入了它前面某一组的猴子中，每一只猴子实际上落入的组都有一个编号（比如，按方按规定，这组猴子每只应分得几颗花生这组编号就是几），那么，这些猴子实际落入的编号最小的那组，该组本身那三只猴子都按方案规定得到了应得那么多的花生，现在又有后面某一组或某几组的猴子落入该组，因而该组至少将有四只猴子，即必有四只猴子分得一样多的花生。
于是我们看到，现在问题的关键是按把100只猴子分成34组的这种方案所需要的花生数量到底是多于还是不多于1600颗。
我们有
（0+1+2+3+…+32）×3+33=1617>1600
因而，无论怎样分，也必然有四只猴子分得的花生一样多。
为什么存长期的利率比存短期的利率高
假设：目前的银行存款中，存8年期的利率，往往比存1年期或存3年期的利率高。大家可能以为这仅仅是为了鼓励人们去存较长期限的储蓄。实际上这是本该如此的！因为倘若存长期的利率没有比存短期的利率高出一定限度，那么甚至于存短期的储蓄对储户更加合算！
为说明上述的道理，我们假定所有存款的年利率均为12.5%。让我们看一看究竟会出现什么毛病！
假设某甲，持本金100元存入银行，一存8年，容易算出，8年后他连本带利恰好取回200元。
又设某乙，也持本金100元存入银行，存4年；4年后取出，旋即又将本利再次存入，又存4年。容易算出，头尾8年某乙连本带利共可收回a2=100×（1+12）2=225（元）
某乙把一次8年期的存款，分为两次4年期存。本身只多办一道手续，结果竟多得了25元，这相当于本金的四分之一，可算是一笔不少的钱数！
再设某丙、某丁、某戊，把8年的期限分得更细，分别等分成3次存、4次存和5次存。每次取出后又立即将款全数存入。这样，头尾8年，各人分别得款（单位元）：
a3=100×（1+12）2=225（元）
a4=100×（1+14）4=244.14（元）
a5=100×（1+15）5=248.83（元）
同样，某N，也有本金100元，但把8年期限等分成n次存，每次取出后再度存入，则8年后可得（单位元）：
an=100×（1+1n）n
可以证明，当分划期限越短时，到期本利和越高。不过，当n无限增大时，变量an也不可能无限增大，它以一个常量为极限，这个常量为：
α=limn→∞αn
=limn→∞［100×（1+1n）n］
=100e=27183
这就是说，如果存1年期的利率为12.5%，那么存8年期的年利率就必须不低于：
P=a100—18=2.7183—18=21.48%
否则便会出现一种混乱的局面：储户为了谋求较高的利息，不惜花时间频繁地取出又存进！
消费基金每年最多扣多少？
某工厂原有基金a万元，如果该厂经过生产每年资金的增长率为25%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金再投入生产，为了实现经过20年达到资金翻两番（扣除消费基金后），那么每年扣除消费基金x的最大值是多少？（取lg2=0.30）
解：依题意，
第一年年底有资金：（1+25%）a—x=（54a—x）万元；
第二年年底有资金：（54a—x）（1+25%）—x=\[a（54）2—x（1+54）\]万元；
第二十年年底有资金：a·（54）20—x\[1+54十（54）2+…+（54）19]=a·（54）20—4x（54）20+4x。令a（54）20—4x（54a）20+4x=4a（1）
∵lg（54）20=20（lg5—lg4）
=20（1—3lg2）
=2
∴（54）20=100
代入（1）得
100a—40x+4x=4a，x=883a（万元）
因此，每年最多扣除消费基金883a万元。
吸了蓝墨水的海绵
一块海绵，不小心掉进了一个蓝墨水缸。连忙捡起，把吸入的蓝墨水挤出来。但无论怎样挤，海绵中总要存留一些蓝墨水。假定这块海绵对于密度在1左右的溶液（比方说蓝墨水、清水、蓝墨水溶液）的存留量为10克。现打算用100克的清水对这块吸有10克蓝墨水的海绵进行清洗。把海绵放入这100克清水中，经充分搅动清洗，取出挤压，海绵中存留的蓝墨水溶液其浓度将为多少呢？不难算出，其浓度为10/100+10≈9.1%，效果是不理想的。现在要求清洗后海绵中的蓝墨水浓度在0.3%以下。
怎样才能做到这一点呢？
提示：把清水分成若干份，作多次清洗。
答案：将100克清水分为17克、17克、17克、17克、16克、16克共六份，一份一份地对海绵进行清洗。
第一次清洗，加清水17克，与海绵中的10克蓝黑水充分混合，形成27克的蓝墨水溶液，其中蓝墨水含量为10克，因此蓝墨水浓度为10/27。经挤压，这27克溶液中尚有10克留存在海绵中，其余17克被倒掉。
第二次清洗，加清水17克，与海绵中的10克蓝墨水溶液充分混合，形成27克浓度较淡的蓝墨水溶液。这溶液中的蓝墨水含量就是这次清洗前海绵中的蓝墨水含量，为10克×10/27，故现在溶液中的蓝墨水浓度减小为10×10/2727=（1027）2。经挤压，仍有10克这种浓度的溶液留存在海绵中。
第三次清洗，加清水17克，采用同样的分析，易知现在蓝墨水浓度变为（10/27）3。
第四次清洗，蓝墨水浓度继续减小，变成（10/27）4。
第五次清洗，加水量是16克，浓度变成（10/27）4（10/26）。
第六次清洗，加水量也是16克，浓度成为（10/27）4（10/26）2≈0.278%<0.3%，达到题目的要求。
这里，没有把100克清水分成6等份，主要是想凑成整克数，这样看起来可以自然一些，其实把100克清水分成6等份，经6次清洗后，蓝墨水浓度将变为1010+1006，其近似值也是0.278%，但再精确几位小数，将发现它比（10/27）4（10/26）2稍稍小一点。可以证明，把100克清水分成若干份进行清洗，在分成同样份数的条件下，总是分成等量比分成不等量更有效。
那么，分成的份数与清洗效果是怎样的关系呢？让我们算一下分成5等份的效果。这种情况下，清洗后蓝墨水浓度为：1010+10055=135=1243≈0.412%。效果稍差。
分成7等份呢？结果是1010+10075=7177≈0.201%。效果略好。
一般地，分成n等份，结果是1010+100nn=n10+nn。可以证明，n越大，n10+nn就越小。但把这个结论用到我们这个清洗海绵的问题上是没有意义的，因为分的份数越多，每份的水量就越小，我们知道，水量小到一定程度，就根本无法进行清洗了。况且，n10+nn也不是可以无限制地小下去的，可以证明，它不能小于e—10。确切地说，当n趋向无穷大时，n10+nn的极限是e—10，其中e是一个像π那样在数学中很重要很常见的常数。它也是无理数，而且是所谓“超越数”，也就是说它不是整系数代数方程的根。e的近似值是2.718。一般地，如果要清洗的杂质（如蓝墨水）是a克，用来清洗的水是b克，则相应的浓度极限是e—ba。
煤商怎么进煤利润高？
日常生活中，有许多事情可采取多种方法来完成。哪种方法最好呢？比如：哪种方法最省时，或者最省钱等。如果开办加工厂，加工某种东西，又怎样获得利润最高？这都需要精打细算。
比如开办一个煤厂吧，也就是把煤沫加工成蜂窝煤，它需要以下几个步骤：
1.购买煤沫；
2.掺好煤土；
3.加工成品；
4.销售。
虽然仅有这么简单的四步，但也要仔细计算一下，然后再决定怎样使煤厂利润更高。然而，煤厂的利润会受到多种因素的影响，这里我们重点研究购买哪种煤沫利润更高，同时还要注意成品的销售情况。
煤厂现在可以进购两种煤沫，一种好些，价钱当然贵了，可多掺黄土；另一种次些，价钱也就便宜，但掺黄土不能过多。煤厂进哪一种煤沫利润更高呢？这就要通过计算了，这里有三种方法。
第一种，进购好煤沫，好煤沫的进价是每吨105元，掺土占煤沫的40%，掺水占煤土的8%，加工好的蜂窝煤售价是每吨88元，我们来计算一下进购好煤沫10吨的利润是多少。首先要得出10吨煤掺黄土和水后，可加工多少吨蜂窝煤，再算出总价，减去成本，求出利润。用10吨煤沫掺上40%的黄土共是14吨煤土，再掺上占煤土的8%的水1.12吨，共是15.12吨煤，加工后可卖88×15.12=1330.56元。再来算一下成本，每吨煤沫105元，10吨共1050元，黄土每吨18元，4吨共72元，水每吨0.6元，1.12吨共0.672元，这15.12吨煤的成本为1050+72+0.672=112267元。最后算一下利润，用总价减去成本，得1330.56—1122.672=207.888元，平均每吨煤获利润13.7元，这段话用式子表示为：｛88×\[10+10×40%+10×（1+40%）×8%\]—（105×10+184+0.6×I12）｝÷15.12≈13.7元。
第二种，进购次煤沫。次煤沫的进价是每吨85元，掺上占煤沫20%的土和占煤土8%的水，加工好的蜂窝煤的售价同样也是每吨88元。我们同样计算进购10吨次煤的利润是多少，方法与计算好煤利润相同。用10吨煤沫掺上占它的20%的黄土，共是12吨煤土，再掺上煤土的8%的水0.96吨，共是12.96吨煤，加工后可卖88×12.96=1140.48元。我们同样也算一下它的成本，每吨煤沫85元，10吨共850元，每吨黄土18元，2吨共36元，每吨水0.6元，0.96吨为0.576元，这12.96吨煤的成本为850+36+0.576=886.576元，它的利润为1140.48—886.576=253.904元，平均每吨煤的利润约为17.2元，这段话用武子表示为：{88×［10+10×20%+（10+10×20%）×8%］—（85×10+18×2+0.6×0.96）}÷12.96≈17.2元。
第三种，进购好次两种煤沫，为了使煤质好些，所以好煤与坏煤的混合比例为2：1。掺上占煤的百分之多少呢？掺水又占煤土的百分之多少呢？让我们来计算一下。
我们设掺次煤A吨，掺好煤2A吨，我们算出A吨次煤和2A吨好煤各掺多少土和水，算出土共是多少，占煤沫的多少；算出水共多少，又占煤土的百分之多少。好煤应掺40%的土，所以2A吨好煤应掺2A×40%=80%A吨的土，也就是0.8A吨，这种煤土应掺8%的水，所以（2A十0.8A）吨煤土应掺水（2a+0.8A）×8%=22.4%A吨，也就是0.224A吨。
我们算完了2A吨好煤应掺的土和水，再来算一下A吨次煤应掺多少土和水。次煤掺的土应占它的20%，所以A吨次煤应掺A×20%=20%A的土，也就是0.2A吨，这种煤土应掺的水仍占它的8%，所以（A+20%A）吨的煤土应掺水（A+20%A）×8%=9.6%A吨，也就是0.096A吨。
我们现在可以算出好、次两种煤共应掺黄土（0.8A+0.2A）=A吨，占3A吨煤的13，再来算一下水占煤土的百分之几，0.22A+0.096A3A+A这种掺法，水和煤土的百分之比与好次煤土所掺的水一样，仍是8%。
我们知道了混合煤土所掺土和水的百分比之后，就来算一下10吨混合煤加工成煤后，它的利润又是多少？方法与求好次煤利润的方法相同：10吨混合煤应是10×13吨的次煤和10×23吨的好煤混合成的，混合煤掺上它的13的土共是1313吨，再掺上煤土8%的水1615吨，共是14.4吨，加工后可卖88×14.4=1267.7元，再算一下它的成本是623吨好煤共700元，103次煤共28313元，313吨黄土共60元，1615吨水共1625元，这14.4吨煤的成本是10437375元，利润为223109250元，平均每吨煤获利润15.5元，这段话用式子表示为：
88×203+103+10×13+（10+10×13）×80%—105×203+85×103+
18×103+0.6×1615÷144≈15.5元
通过计算，我们很明显的可以看出，进购次煤利润会更高，但是还要注意一下销售这个问题，因为煤厂一个冬天就要卖几百上千吨的煤。所以仅看每吨煤的利润是不行的，还要看一看哪种煤卖得快、卖得多。