弧度制与角度制的对比
弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于常有先入为主的想法，对学弧度制的兴趣不大，在开始阶段也不习惯，所以学起来有一定的困难，因此有必要对角度制与弧度制进行对比、辨析。
一、弧度制与角度制的概念
我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数。随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、零、负数之分。这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对。这就是说，圆心角与弧是一一对应的。
二、弧度制、角度制与实数的对应关系
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系。对于角度制：说“每个角都有惟一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是惟一的；但是对于弧度制：说“每个角都有惟一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应。反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应。
三、弧度制与角度制之间的换算关系
如果圆心角所对的弧长l=2πr（即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r＝2πrr=2π，而一个周角的角度数为360°＝2π弧度，即180°=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算公式：
1°＝π180弧度≈0.0174弧度，1弧度＝180π≈57.3°
四、弧度制与角度制的进位制
利用角度制表示角时，度、分、秒相互间采用的是六十进位制，度、分、秒各自间又采用的是十进位制，两种制度并用；而在利用在用弧度表示角的时，只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数。
五、弧度制与角度制下的弧长公式和扇形面积公式的比较
在角度制下，弧长公式L＝nr180，面积公式S＝nr2360，在弧度制下，弧长公式L＝θr，面积公式S＝12k，l是扇形的弧长，r是圆的半径，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单。
六、弧度制与角度制的单位的比较
弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值。
是“三角”还是“函数”
应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物，肇始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名。
“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年。但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的。
所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局，将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。
三角学的起源与发展
三角学起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。16世纪法国数学家F韦达系统地研究了平面三角。他出版了应用于三角形的数学定律的书。此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。
三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，例如它的首章记录：“周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章。
早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学。希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品。例如，古希腊门纳劳斯（公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学。而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（约505—587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学。当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分。直到纳西尔丁（1201—1274年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支。而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（1436—1476年）。
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础。他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响。
三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia。最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（1561—1613年），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词，其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成。要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的。
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（1514—1574年）。他1536年毕业于滕贝格大学，留校讲授算术和几何。1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表。
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究。不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用。
三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式。三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究。
文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一。其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔，给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等。第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式。除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式，如正切定律、和差化积公式等等。他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值。该书以直角三角形为基础。对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决。对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理。
1722年英国数学家棣莫弗得到以他的名字命名的三角学定理：
（cosθ±isinθ）n＝cosnθ+isinnθ，并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式eiθ＝cosθ+isinθ，对三角学的发展起到了重要的推动作用。
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角，从而简化了三角公式。使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科。而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论。
因此三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，众多中外数学家的不断努力，才逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学。
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。
三角函数的演进
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯为了精密地计算三角函数值曾定半径为600，000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514—1574年）改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连接在一起，而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
1.正弦、余弦
在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆半径，则有：
asinA=bsinB=csinC=2R，
称此定理为正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔·威发（940—998年）首先发现与证明的。中亚细亚人艾伯塔鲁尼（973—1048年）给三角形的正弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。托勒密的《天文学大成》第一卷，除了一些初级的天文学数据之外，还包括了上面讲的弦表：
它给出一个圆从（12）°到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制表达。
公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45′的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据2πr=216000，得出r=3438（近似值），然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45′的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔·巴坦尼于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函数。而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度“角”和太阳天顶距“角”互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数点后9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1′，45°到90°的相隔为5′的正切表。
在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割