正割及余割这两个概念由阿布尔—威发首先引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德（1595—1630年）在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。欧洲的“文艺复兴时期”，（14世纪—16世纪）伟大的天文学家哥白尼提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10″的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算器。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚忍不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。
三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号，但当时并无函数概念，于是只称作三角线（trigonometriclines）。他以sinus1marcus表示正弦，以sinus2marcus表示余弦。而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin”、“tan”、“sec”、“sincom”、“tancom”、“seccom”表示正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，首三个符号与现代之符号相同。后来的符号多有变化。
我国现在采用I类三角函数符号。
1729年，丹尼尔·伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。1736年欧拉以At表示反正切，一年后又以Asinbc表示于单位圆上正弦值相等于cb的弧。1772年，C申费尔以arctang表示反正切；同年，拉格朗日采以arc·sin11+α表示反正弦函数。1776年，兰伯特则以arcsin表示同样意思。1794年，鲍利以Arcsin表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arcsinx，arccosx等。于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示反三角函数之主值。
另一较常用之反三角函数符号如sin—1x，tan—1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。三角函数的和差化积公式：
下列公式：
cosA—cosB=—2sinA+B2sinA—B2，
sinA—sinB=2cosA+B2sinA—B2，
cosA+cosB=2cosA+B2cosA—B2，
sinA+sinB=2sinA+B2cosA—B2，
称为三角函数的和差化积公式。
法国著名数学家韦达（1540—1603年）在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式：
sinA—sinB=2cosA+B2sinA—B2
三角函数名称的由来和补充
想知道为何三角函数要叫做sin、cos这些名字吗？请看下图：
（1）正弦（sine）sinθ=MP
（2）余弦（cosine）cosθ=OM
（3）正切（tangent）tanθ=AT
（4）余切（cotangent）cotθ=BS
（5）正割（secant）secθ=OT
（6）余割（cosecant）cscθ=OS
（7）正矢（versine）versθ=MA
（8）余矢（versedcosines）coversθNB
（9）外割（exsecant）exescθ=PT
上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。其中我们可以看到，sinθ为PM线段，也就是圆中一条弦（对2θ圆周角）的一半，所以称为“正弦”。而cosθ是OM线段，但OM＝NP，故我们也可以将cosθ视为∠NOP（90°—θ）的正弦值，也就是θ的余角的正弦值，故称之为“余弦”。其余类推。
另外，除了课本中的六种三角函数外，还曾存在其他的三角函数，如上图中的versθ、coversθ和exsecθ。事实上，在历史上曾出现过的三角函数种类超过十种呢！但最后只剩下这六种常用的。其他的还有如半正矢（havθ）、古德曼函数和反古德曼函数等。
为什么弧度比角度难理解？
弧度比角度难理解，有不少人会赞同这个说法，说弧度是“糊涂”，这是为什么呢？
（1）角的大小是一个量，就像长度，重量，速度，温度等等量一样。物理中，我们知道，一个量的度量常常用不同的方法来测量，不同的测量方法最基本的差异是使用不同的测量单位。例如，温度有两种我们熟悉的度量单位，摄氏和华氏，中国人习惯使用摄氏温度，西方则习惯使用华氏温度，很多人甚至并不知道摄氏温度和华氏温度的单位是如何确定的。
“角度”容易被接受的原因之一是用“自己”测量“自己”，并且日常生活中我们经常用这个单位，久而久之，就不太容易接受其他的角度单位了。
（2）用“弧度”来度量角，需要一个过程。首先，需要确定长度单位，用这个长度单位做一个圆，我们知道圆弧是有长度的，例如，整个圆周的长度是2。接着用长度单位来测量弧的长，我们把长度为1的弧所对应的角作为角的弧度单位，称为一弧度角，这样我们就确定了度量角的新的单位。最后，我们还必须说明：选择的长度单位不同，但得到的一弧度角都是相同的，弧度指的是一个比值，它不依赖于圆半径的大小，这需要用到相似的概念。即，需要证明任何两个圆是相似的，这要用到极限的思想。
（3）“弧度”与角度的区别在于，角度是“自己”量“自己”，弧度是用“其他的东西”量角，用“长度”量角，这是容易造成不习惯的地方。也正是由于这一点，弧度给我们带来了很多好处。
当我们用三角函数刻画很多自然现象时，例如，y=sinx，在这里，x不仅可以是角度，也可以是时间，或是其他什么量。
在计算上也可以带来很大的方便，比如，当x趋于0时，y=1，我们知道这是非常重要的一个极限，它确保了三角函数的可导性。这个结果成立是由于我们使用了弧度，弧度把长度的单位和角度的单位统一起来。
中国π的一页沧桑
1.实用的中国π
古代中国的数学研究概以实用为依归，在圆周率π的逼近估计工作上，当然也不例外。比方说，在朝廷上，历法家利用圆周率来推算历书，而地方上的小官吏，也必须懂得如何去计算（圆形）谷仓的容积。随着仓储数量的增加，容器的度量被迫必须做得更精确，而π的精密估计也就变成一种很紧要很实用的事务了。再者，π值估计得不够理想，对小地方吏治的影响不大。但是，在一个农业社会中，何时降雨，雨量多少等等，件件都是皇帝庶民一体关心的大事，所以，中国历代朝廷之重视历法之修订，是可以想见的。在这种情形下，π值的估计如果害了历书无法预知四季雨露，则风不调雨不顺事小，碰上饥民造反，摇撼了江山基业可就不是闹着玩的了。传说，刘邦认为秦朝的覆亡与秦历有关，因而他上台后，就立刻找来当代的历法大家张苍重订历法。六朝朝代，何承天（生于公元370年，死于公元447年）就是一个宫廷天文师，著有《元嘉历》一书。在讨论浑天象体时，他说：“周天（即天体的一周长）三百六十五度三百四分之七十五。天常西转，一日一夜，过周一度。南北两极，相距一百一十六度三百四分之六十五分强，就是天径（天体的直径）。”由此可知：他所估计的π值为：
π=圆周率直径=3657530411665304=11103535329=3.1428。
2.中国π的历史
中国最早有π近似值的书籍是《周髀算经》与《九章算经》，所谓的“径一周三”就是出自《周髀算经》，当时所取的值是3。直到公元一至五年，刘歆替王莽制作嘉量斛标准量器时，发觉有估计得更精密的必要，才算出3.154之值，后世称为“歆率”。张衡，后汉南阳人（约公元130年），是中国古代最伟大的天文学家，设计浑天仪和地动仪，算定圆周率为9229或10。公元300年左右，魏朝的刘徽从圆内接正六边形着手，推至九十六边形（当时称做“割圆术”），算出近似值3.14，后人称为“徽率”。刘徽后来受到同行的刺激，继续割圆下去，居然割成一个圆内接正三千零七十二边形，求得更精密的值3.14159。无独有偶地，一千年之后，又出现了一位“疯子”——赵友钦，把边数增加到一万六千三百八十四边，验证了祖冲之的密率355113是一项很杰出的估计。
3.杰出的355/113
祖冲之，南齐范阳人，生于公元429年，死于公元500年，是当时杰出的数学家、天文学家与工程师。相传他用“割圆术”求得圆周率π的正确数值，介于3.1415927和3.1415926之间，并且定227为“疏率”，355113为“密率”（近似于3.1415929203），这个“密率”当世无人能出其右，直到一千一百多年后，才由德国人鄂图算出一个相同的数值来。祖冲之的计算法，应该会记载在他的《缀术》之中的，可惜，这部书失传了，使得这个准确到小数点第六位的“密率”，平添了不少的神秘色彩。这是不足为奇的，因为密率与连分数（繁分数）的最佳近似理论有关，所以，后世的数学史家莫不异口同赞为一项非凡的成就。
4.连分数的计算
取π值的近似值3.14159265，这个数值准确到小数点第八位数。规定［α］表示α的整数部分，即［α］=3。设p=314159265，q=100000000，则α=pq是一个有理数。
令α0=［α］=［pq］=3，而
pq=［pq］+1α1，0≤1α1<1
即
p=［pq］q+qα1（=r1），0≤r1<q（1）
r1=14159265，α1=qr1=10000000014159265。令α1=［α1］=［qr1］=7，同理可知：
qr1=［qr1］+1α2，0≤1α2<1，
即
q=［qr1］r1+r1α2（=r2），0≤r2<r1（2）
r2=885145，α2=r1r2=14159265885145。令α2=［α2］=［r1r2］=15，同理可知：
r1r2=［r1r2］+1α3，0≤1α3<1，
即
r1=［r1r2］r2+r2α3（=r3），0≤r3≤r2（3）
r3=872090，α=r2r3=872090885145。令α3=［α3］=［r2r3］=1，同理可知：
r2r3=［r2r3］+1α4，0≤1α4<1，
r2=［r2r3］r3+r3α4（=r4），0≤r4<r3（4）
r4=13055，α4=13055872090等等。由于
α=［α］+1α1（α=pq，α1=qr1）
=［α］+1［α1］+1α2（α2=r1r2）
=［α］+1［α1］+1［α2］+1α3
=［α］+1［α1］+1［α2］+1［α3］+1α4
所以
3.14159265=3+17+115+11+13055872090
马上可以得出3.14159265的渐近连分数依次是：31（径一周三），3+17=227（疏率），3+17+115=333106，3+17+115+11（密率），最后这一个近似值355113是略去13055972090所得到的，恰好是祖冲之的密率。更令人惊异的是：根据渐近分数的理论，分母不超过113的任何分数，没有一个能比355113更接近于π值。这一项漂亮的“巧合”，不知道风靡了多少近代的数学史家，为它献身！
5.π与大衍求一术
在上述的连分数计算程序（1）（2）（3）（4）中，实际上就是欧几里德辗转相除法的翻版（在把一个有理数表为一个有限小数或无限循环小数的程序中，辗转相除法也是一项不可或缺的工具）。这种辗转计算法，降生于希腊，似乎专以解决两整数的最大公因子为主；而投胎于中土，则自立门户，名曰“大衍求一术”，始终与不定方程式之解析共进退。求一术最早见之于三国时代的《孙子算经》下卷，用以解决韩信点兵问题：“物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二”，是抽象代数书上“中国余数定理”之滥觞。接着，中国各朝代历法改订，都以大衍求一术求出更精确的近似值，来校正日差。也就是到了秦九韶的手上，大衍求一术才确定了它的通则与形式。在九韶先生的《数书九章》中有下列的记载：
置其右上，定居右下，立天元一于左上。先以右下除右上，所得商数与左上一相生，入左下，然后以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数，随即递互异乘，归左行上下，须使右行上末得奇一而止。乃验左上所得，以为乘率，或奇数已，见单一者便为乘率。
试举一例，依大衍求一术解之：
以何数乘65，除以83余1？
解：可设何数为x，则原题可化为不定方程式65x—83y=1的求整数解之问题。因为65与83互质，故可用辗转相除法的横式递互代入，求得其解，这是高一数学小问题。大衍求一术的解法则如下：
（上）天元α0=1奇数65
（下）0定母83
（左）（右）q1…65除83之商
α0=165
α1=q1α0=1r1=18…65除83之余数
q2=3…18除65之商
α2=q2α1+α0=4r2=11…18除65之余数
α1r1=18
q3=1…11除18之商
α2=4r2=11
α3=q3α2+α1=5r3=7…11除18之余数
q4=1…7除11之商
α4=q4α3+α2=9r4=4…7除11之余数
α3=5r3=7
q5=1…4除7之商
α4=9r4=4
α5=q5α4+α3=14r5=3…4除7之余数
q6=1…3除4之商
α5=q6α5+α4=23r6=1…3除4之余数
α5=14r5=3
大家仔细观察，当可发现辗转相除法与大衍求一术实有貌异神同之处；利用大衍求一术，不但可以同时得知65与83互质；而且可以同时求出原方程式的一组解x=23，y=—18来（α5=23就是所谓的“乘率”）。
鉴于祖冲之的杰出，我们应该可以相信，他必然深谙“大衍求一术”之道；或许他在画了一个圆内接正一万六千多边形之后，忽然灵光显现，应用大衍求一术找到了这个355113也说不定。果真如此，则我们对中国古代数学的成就，当可再进一步地评价了。
由上面的解释，我们有α0=1，α1=q1，而αn=qnxn—1+αn—2，n≥2。同理，若令β0=0，β1=1，βn=qnβn—1+βn—2，n≥2。则证者不难发现rn=（—1）n（—83βn+65αn），n≥1。由递推公式知β6=18，αn=23。即x=23，y=—18为原方程式的一组解。
6.中国π的衰微