17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家刁藩都所写的《算术》一书。1621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：费马大定理：n>2是整数，则方程xn+yn=zn没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明了（1995年），证明的过程是相当艰深的！费马小定理：ap—a≡0（modp），其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，欧拉定理是说：aφ（n）—1≡0（modn），a，n都是正整数，φ（n）是欧拉函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“欧拉公式”这个词条里找到）。另外还有：
（1）全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
（2）形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
（3）没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
（4）形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
（5）边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
（6）4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
（7）发现了第二对亲和数：17296和18416。
科学巨人——牛顿
牛顿（1643—1727年）英国物理学家、数学家与天文学家，剑桥大学教授，英国皇家学会会员、会长，经典力学基础的牛顿运动定律的建立者以及万有定律的发现者。在数学上，提出“流数法”和莱布尼兹同为微积分的创始人，并建立了二项式定理，著有《自然哲学的数学原理》等。
1643年1月4日牛顿出生于英格兰林肯州的一个农民家庭，出世时父亲已病故，生活艰难，幼年由外祖母抚养。少年牛顿不是神童，在校学习成绩平平。但他喜欢读书，从中学起就有做读书笔记的习惯。中学时代的牛顿还酷爱制作玩具，他所制作的玩具实际上是各种机械模型，包括风车、木钟、日晷以及折叠式提灯等等，同时他还对绘画有着非凡的才华。
1661年，19岁的牛顿，考入了著名的剑桥大学。在学习期间，牛顿表现出他具有深邃的观察力、敏锐的理解力，并进行近代自然科学的研究。1665年，牛顿大学毕业，获得学士学位。牛顿在数学上的研究很大程度是依靠自学，他专心致志地思考数学、物理学和天文学问题，思想火山积聚多年的活力，终于爆发了，智慧的洪流，滚滚奔腾。在家乡避瘟疫期间，短短的18个月，他就孕育成形了：流数术（微积分）、万有引力定律和光学分析的基本思想。牛顿于1684年通过计算彻底解决了1666年发现的万有引力定律问题。1687年，他45岁时完成了人类科学史上少有科学巨著《自然哲学的数学原理》，继承了开普勒、伽利略，用数学方法建立起完整的经典力学体系，轰动了全世界。
牛顿对数学贡献，最突出的有三项，即作为特殊形式的微积分的“流数术”、二项式定理及“广义的算术”（代数学）。
牛顿为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿始创微积分的时间大约要比现代微积分的创始人德国的数学家莱布尼兹早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼兹要晚。事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。
牛顿研究得出的二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有利工具。
《广义算术》，则总结了符号代数学的成果，推动了初等数学的进一步发展。这本书关于方程论也有些突出的见解。其中比较著名的是“牛顿幂和公式”。
牛顿的数学贡献还远不止这些，他在解析几何中的成就也是令人瞩目的。他的“一般曲线直径”理论，引起了解析几何界的广泛重视。
除了微积分、代数与几何以外，牛顿的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多的领域。还有牛顿插值公式，最速降落线问题的解答。现今任何一本数值分析教程都不能不提到牛顿的名字——牛顿—高斯公式、牛顿—斯特林公式、牛顿—拉弗森公式……这反映了牛顿对该领域广泛而卓越的贡献。
1727年3月31日，牛顿因患肺炎与痛风症在伦敦溘然辞世。在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位，这不仅是因为这些成就开拓了崭新的近代数学，而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法，实现了自然科学的一次巨大综合而开拓了近代科学，牛顿在其他科学领域的研究，也毫不逊色于在数学上的贡献。
牛顿总是谦逊地将自己的科学发现归功于前人的启导。他在谈到他的光学成就时曾说过这样的名言：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上。”牛顿曾经说过：“我不过就像是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。”从这里可以看出一代伟人的谦虚美德。这些美德和他的成就，都值得后人去继承、学习。
伟大的科学家牛顿在1707年曾提出一个草地与母牛的问题：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？
精通医学的数学家——卡当
卡当于1501年出生在意大利的帕维亚，卡当有个不幸的童年，在40岁之前，他穷得一无所有。个性孤僻、自负、缺乏幽默感、不能自我反省，并且往往在言谈中，表现得冷漠无情。他为了逃避穷困、病痛、毁谤和不公平的待遇，曾在25年之中每天玩骰子，并天天玩棋达40年之久。青年时代，他致力于研究数学、物理。从帕维亚大学医学院毕业后，在波隆纳和米兰行医并教授他人医术，成为全欧有名的医生，但同时又可以说他是精通医学的数学家。这期间，他曾受聘在意大利的多所大学，担任数学讲座。1570年，因丢掷耶稣的天宫图，被视为异教徒，而被捕入狱。不过，令人称其奇的是，主教随即以占星术士来聘用他。
卡当的著作涵盖了数学、天文学、占星学、物理学、医学以及关于道德方面的语录。借着辛勤的耕耘，他将古世纪、中世纪以及当代所能搜集到的数学知识，编成百科全书的形式。他更将自己珍爱、偏好的数论和代数理论，结合在一起。
1545年，他出版的著作《ArsMagra》（大术），在代数学上具有相当重要之地位。书中首次出现使用符号的雏形；他对三次及四次方程式提出了系统性的解法，这是一个非常重要的成就。
卡当在代数学上的另一个贡献，是认真地引入了虚数，并接受虚数是方程式的根。虚数的出现，是数学史上一件大事。虚数和原有的实数统称为复数系。根据代数基本定理，在复数系里任何多项式必有根，而且n次多项式恰有n个根，这就解决了根的存在性问题。要解出方程式的根，在复数系中，便可迎刃而解了。
除了在代数学上的重要成就，卡当在概率论这门学科上，也作出了奠基的工作。例如在其《DeLudoAleoe》（博奕论，1663年出版）一书中，他已经计算了投掷两颗或三颗骰子时，在可能的方法里，有多少种方法是得到某一点数，这可以说是概率论发展的一个滥觞。
抽象
我的朋友的一个朋友一次在餐馆里喝多了几杯。营业时间已经过去快一个钟头了。服务员来提醒可以走人了。当时，那位朋友说了一句很震动人的话。
他是这么说的，“你别惹我，不然我一拳把你打得很抽象。”
高雅的宫殿何人去
伊萨克·巴罗（1630—1677年）是英国著名的数学家，曾任剑桥大学数学教授，对几何学颇有建树。他还是位著名的传教士，著有大量久负盛名的布道文。他为人谦和可亲，然而却与当时的国王查理二世的宠臣罗切斯特伯爵结下了难解之仇，只要遇到一起，终免不了进行一场舌战。
据说，罗切斯特曾将巴罗教士讥为“一座发霉的神学院”。
某日，巴罗为国王做完祈祷后与罗切斯特狭路相逢。
罗切斯特向巴罗深深地鞠了一躬后，语带讥讽地说：“博士，请您帮我系上鞋带。”
巴罗答道：“我请您躺到地上去，爵爷。”
“博士，我请您到地狱的中心去。”
“爵爷，我请您站在我对面。”
“博士，我请您到地狱的最深层去。”
“不敢，爵爷，这样高雅的宫殿应留给您这样有身份的人啊！”说完，巴罗耸耸肩走开了。
Pi是什么？
数学家：Pi是圆周长与直径的比。
工程师：Pi大约是22/7。
计算机程序员：双精度下Pi是3.141592653589。
营养学家：你们这些死心眼的数学脑瓜，“派”是一种既好吃又健康的甜点！
直角
老师：“这道几何题你未经证明，怎么得出这个角是直角的呢？”
学生：“我用量角器量过了。”
多少次
老师在课堂上提问：“西班牙在15世纪发生了多少次战争？”
“六次。”一个学生很快就答出来了。
“哪六次？”老师又问。
“第一次、第二次、第三次、第四次、第五次和第六次。”
证明
证明所有大于2的奇数都是质数，不同专业的人给出不同的证明：
数学家：3是质数，5是质数，7是质数，由数学归纳可知，所有大于2的奇数都是质数。
物理学家：3是质数，5是质数，7是质数，9是实验误差，11是质数，……
工程师：3是质数，5是质数，7是质数，9是质数，11是质数，……
计算机程序员：3是质数，5是质数，7是质数，7是质数，7是质数，……
统计学家：让我们来试几个随机抽取的数：17是质数，23是质数，11是质数，……
数学家
世界上有两种数学家：会数数的和不会数数的。
世界上有两种人：一种相信世界上的人分为两种，一种不相信。
世界上有两种人：一种可以被归类于两种人之一，一种不可以。
数字
“数字是不会骗人的，”老师说：“一座房子，如果一个人要花上十二天盖好，十二个人就只要一天。二百八十八人只要一小时就够了。”
一个学生接着说：“一万七千二百八十人只要一分钟，一百零三万六千八百人只要一秒钟。此外，如果一艘轮船横渡大西洋要六天，六艘轮船只要一天就够了。四杯25度的水加在一起就变开水了！数字是不会骗人的！”