向量的由来
向量又称为矢量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向。但是在高等数学中还有更广泛的向量。例如，把所有实数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量。在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的。这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象。这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了。因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用。而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。
三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
地球半径的测量
两千多年前，哲学家们找到了测量地球半径的方法，只需量一下影子的长度就可以计算出地球的半径。不知大家能否在一间邻海的房子里只借助一只表和一把皮尺测量地球半径呢？
假如你正在海边度假，住在一家临海旅馆四层的一个房间里，房间视野很开阔。有一个人悬赏说，明天天亮以前，谁要能想出一个相当准确的方法来测量地球半径，将获得一笔奖金，条件是除了借助一只表和一把皮尺外，不能使用特别的仪器。
你可以测一下你房间的窗台离地面有多高，当然也可以问旅馆老板：我们假设为10米。黄昏时分，你趴在旅馆前的海滩上，请你的朋友坐在你房间里把下巴倚在窗台上。为了不使问题过于复杂化，我们可以这样设想，趴着时你的眼睛处在地平面上。当太阳的上边或者说最后一个亮点消失在海平面上时，你按下秒表开始记时。此时，从你朋友那里看，太阳还有一点仍处在海平面上，当太阳消失的一瞬间，让你的朋友喊声“停！”你就让秒表停下。你可能会觉得奇怪，不过这中间确实要经过24秒多（准确的结果应该是24.366秒）。
现在，你需要一点三角函数知识来推导出地球半径。对于趴在海滩上的人来说，太阳的上边没入海平面时，太阳发出的光线与地球相切于他趴着的地方，用线段AB表示。处于高处的人看到太阳落山时的最后一缕光线，与地球相切的那条线用线段CE表示。设高处的观察者所在的高度为h，地球的半径为R。三角形ODE是直角三角形。根据余弦定理，直边OD=R与斜边OE=R+h的关系式为R=（R+h）cosθ，其中cosθ是θ角的余弦。另外，我们知道，地球转过这个θ角需要24.366秒（如果不出偏差）；因为转一周要用24小时，这样可以得出：θ/360=24.366/（24×3600），结果θ=0.101525。用一个小计算器可以算出θ的余弦等于0.99999843；代入上面的三角公式，其中h=10米，这样得出R≈6370公里，正好是地球半径。不用三角函数知识，也可以计算出同样的结果，只不过需要比较复杂的几何推理。
当然，事情不可能像描述得那么理想，会有各种误差。比如，你的眼睛不可能恰好处在地面上，而且你找的人头脑反应快慢的问题等等，这样得到的数据可能会有5%左右的偏差。如果你的房间在11层，或者最好你的朋友在海边一个巨大的峭壁上，而你在峭壁的底部，通过手机接收他发出的停止指令，这样偏差就会小些。在意大利的拉齐奥就有一个好去处：在海边有一座高600米的山，从高处到水平面大约有3分钟的延迟，偏差几乎为零。如果没有人帮忙，你可以自己试一下，沿着台阶跑上去，但愿时间来得及。你还可以通过测量你趴在地上和站直身体时看到太阳落山的时间间隔进行计算。既然上面用到的几何关系式表明间隔与两个观察点的高度差成正比，那么如果你站直身体时眼睛的高度为1.70米，时间间隔就应该是10秒，不同的是高度差太小，时间太短而已。令人感到意外的是，虽然古人知道地球是圆的，而且早在公元前，毕达哥拉斯和亚里士多德就明确地指出了这一点，但据我们所知，古人从来没有用过这么简单的方法来估算地球的半径。这其中的原因也许是那个时代人们很难准确地测量时间。
公元前3世纪，埃拉托斯特尼看到太阳光直射入一口井里，并计算骆驼的脚程，最终埃拉托斯特尼测量出地球半径。
历史上第一个做此种尝试的是希腊天文学家埃拉托斯特尼（公元前280—前190年），他的试验比较复杂。埃拉托斯特尼认为，在赛伊尼，即位于今天的亚历山大以南的阿斯旺，在夏至日的正午，太阳差不多经过天顶：他知道窄窄的井底被照亮。而在亚历山大，情况就不一样了，影子不可能消失，即太阳总是斜射的。他观察了日晷指针（或一根竿子）的影子，而且他还知道太阳射到地球上的光线是平行的，通过计算影子和指针的长度关系，他得出结论：正午时分，在亚历山大，太阳光会与地面的垂直线有一个7.2°的夹角，相当于地球圆周角的1/50。
因为这个角度与赛伊尼和亚历山大之间的经线弧度相等，于是只需确定这段距离的长度，再乘以50即可。然而在当时，测量这两地之间的距离也非易事。
根据一个驼队走完这段距离平均所花的时间，埃拉托斯特尼得出这段弧长为5000斯塔迪亚（1斯塔迪亚约为178米），那么经圈的周长为5000×50=250000斯塔迪亚，得出半径长为7080公里，大约多出10%。不过，能根据骆驼的脚程计算出这样一个数来已经不错了。
公元前1世纪，希腊哲学家波塞多尼奥斯做了进一步努力：这是第一次利用天文方法进行测量，得出的值比埃拉托斯特尼的数值略低。波塞多尼奥斯利用的是洛迪和亚历山大之间的经线，他根据船航行两地用的平均时间，并且根据老人星在同一时刻处在两座城市上的不同位置确定中心角。事实上，这颗星在洛迪处在地平线上时，它的光线则以7.5°的斜角照到亚历山大。在事隔900年后，阿拉伯人开始尝试再一次测量地球半径。他们也是在天文观测的基础进行的，不过任务更艰巨。他们在地上，准确地说就在巴格达附近的平原上，选取了两个参照点竖起木杆。他们得到的结果更加精确，只有3.6%的误差。
虚数的意义
复数中a+bi，b不等于零时叫虚数。
汉语中不表明具体数量的词在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数和实数组成复数。这种数一个专门的符号“i”（imaginary）。我们可以把正虚数写为（+i），把负虚数写为（—i），而把（+1）看作是一个正实数，把（—1）看作是一个负实数。因此我们可以说（—1）＝±i。我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧的就是负实数。这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复平面，复平面上每一点对应着一个复数。注：虚数也有大小；虚数没有一维正负，但有二维正负；整数准确地应当划分为实整数和虚整数
虚数的符号
1777年瑞士数学家欧拉（或译为欧勒）开始使用符号i=—1表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来，写成a+bi形式（a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，不等于0时叫非纯虚数，b等于0时就叫实数），称为复数。
通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。
虚数不虚
在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。
在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是x（10—x）＝40，他求得根为5——15和5+—15，然后说，“不管会受到多大的良心责备”，把5——15和5+—15相乘，得乘积为25—（—15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。
“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用i＝—1表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成a+bi形式，称为复数。
在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。
测量学家维塞尔用a+bi表示平面上的点。后来，高斯提出了复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，也为复数的应用开辟了道路，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。
向量符号
1806年，瑞士人阿尔冈以表示一个有向线段或向量。麦比乌斯（1827年）则以AB表示一起点为A而终点为B的向量，这用法为相当广泛的数学家所接受。实际上，现在亦偶然用这表示方法。与他同时代的哈密顿、吉布斯等人则以一小写希腊字母表示向量，现今还有这用法。1896年，沃依洛特—加龙省区分了“极向量”及“轴向量”；1912年，兰格文以表示极向量，其后于字母上加箭嘴以表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中。一些作者为了方便印刷，以粗黑体小写字母a，b等表示向量。这两种符号一直沿用至今。
1797年，韦塞尔已把向量以x+ηy+ez形式表达，其中η2=—1，e2=—1。1878年，格拉斯曼给前二者之工作，以p=v1e1+v2e2+v3e3表示一具有坐标x，y及z的点，其中e1，e2及e3分别为三个坐标轴方向的单位长度。此外，哈密顿则把向量记作ρ=iz+jy+kz，其中i，j，k为两两垂直的单位向量（unitvector），因而有i·j=—j·i=k，j·k=—k·j=i，k·i=—i·k=j。这记法后来与上述向量之记法相结合：印刷时把i，j，k印成小写粗黑体字母，手写时于字母上加箭嘴，并把系数（坐标）写于前面，即P=xi+yj+zk，这就是现今之用法。
高斯的话柄
高斯虽然被誉为18世纪是伟大的数学家，赢得了同代人的广泛尊敬，但与此同时他也给同代和后代人留下了不可避开的话柄。即他虽然在1824年以前，已经独立地得到了非欧几何学的令人满意结果，但由于康德的唯心主义空间观念占据着统治地位，高斯没有勇气去突破它，因而一直没有把研究结果发表出来，造成了他的一大失误。康德说，空间观念是天赋的，人生下就有空间观念，这种空间就是欧几里德空间，它是惟一的空间。康德说的欧几里德空间观念在当时占据着统治地位，人们都相信它，认为不可突破。高斯发现在非欧几何学则突破了这一传统的空间观念，所以高斯害怕他的非欧几何学与传统空间观念相违背，引起不理解者的反对，因此这一研究成果到他死后才被人们披露出来。
高斯不仅没有勇气发表已经取得的非欧几何学研究成果，而且在别的数学家得出这一成果之时，他也不敢拿出勇气进行公开支持。1826年，俄国数学家罗巴切夫斯基在喀山大学物理学会议上，宣布他创立了非欧几何。此后，他又连续发表了一系列非欧几何学著作。罗巴切夫斯基的非欧几何学动摇了旧的传统空间观念，因而引起了教廷的反对，主教宣布他的学说是邪说，更有人用匿名信在反对杂志上嘲笑、谩骂、侮辱罗巴切夫斯基，甚至宣布他是疯子，最好的态度也不过是“对一个错误的怪人的宽容的惋惜态度”。高斯是了解罗巴切夫斯基非欧几何学正确的人，而且这时他已大名鼎鼎，完全有能力站出来为新生的非欧几何学进行辩护，但罗巴切夫斯基的遭遇正是高斯先前估计到的，也正是他不敢发表自己的非欧几何学结论的“怕处”所在。因此，他没有敢于站出来为之辩护，只在私人通信里说到自己对罗巴切夫斯基的钦佩。