书城教材教辅新课改·高一数学备课素材
7132800000039

第39章 平面向量(3)

现代的数学符号,由于它含义确定,表达简明,使用方便,从而极大地推动了数学的发展。在数学里,有人把17世纪叫做天才的世纪,把18世纪叫做发明的世纪,在这两个世纪里,为什么数学有较大的发展并取得较大成就呢?究其原因,恐怕与创造了大量的数学符号不无密切的联系。

甚至有的专家指出,中国古代数学领先,近代数学落后了,原因之一就是中国没有使用先进的数学符号,从而阻碍了数学的发展。这话虽然有偏颇的一面,但的确道出了数学符号对数学发展所能起的重要作用!

埃及:建筑、测量和三角形

非洲东北部有一条举世闻名的大河——尼罗河。它穿过非洲北部的撒哈拉大沙漠,流入地中海,两岸狭长地带便成了肥沃的绿洲。河的下游流经的地方,孕育了最古老文明之一的埃及。

尼罗河三角洲一带盛产一种水草,名叫纸草。古埃及人把纸草的茎一层一层地撕成薄片,再一张一张地粘起来,就成了写字用的纸。有不少古埃及纸草纸一直被保留到今天,成为我们考察埃及历史文化的珍贵材料。

埃及人大约在公元前3500年就已经有了文字。保存下来的最早记录数学知识的纸草纸现在珍藏在英国大英博物馆。写这份纸草纸的,是生活在公元前1600年到1800百年间的阿摩斯。据他说,纸草纸上的内容,又是他从公元前2200年以前的旧卷子上转录下来的。在这份纸草纸上,记载了一些分数和算术四则运算的说明,还有关于测量的规则。

古埃及的皇帝叫做“法老”,著名的金字塔就是法老的坟墓。今天,在尼罗河三角洲南面,散布着70多座金字塔。齐阿普斯皇帝的金字塔是其中规模最大的一座:塔高146.5米;塔基每面长约240米,绕塔一周约1公里;塔内有甬道、石阶、墓室等。这座金字塔是在公元前2800年建成的,在1889年巴黎埃菲尔铁塔建成以前的4600多年间,它一直是世界上最高的建筑物。这确实是了不起的奇迹!古埃及人在建造这些巨大建筑物的过程中,积累了丰富的几何学知识。

我们设想,在建造金字塔之前,一定得先画出一张平面图。估计这张图是画在粘土板上的,它大概就是世界上的第一张平面图了。分析起来,制图人肯定知道,图样和竣工后的建筑物,尺寸尽管可以不同,形状却是一样的。由此可以判断,当时的埃及人已经掌握了比例和相似形的知识。

画出平面图后,应该平出一大片空地,在地上放出实际尺寸,准备动工。建筑材料都是几吨重的大石块,一座金字塔要用许多这样的石块。那时候还没有发明车辆,也没有像样的道路,只能用船沿着尼罗河把石头运到尽量靠近的地方,再用滚木把它们运到工地。每块石头都得事先按一定的形状凿好、磨平。石块的每个角,都要用丁字尺或者三角板反复校正成直角。接着,铺设庞大的石头层作地基。第二层要按一定的比例小一些,并且使每一层正好放在下面一层的中间。这样一层一层往上加,四面相等地缩小,最后准确地在塔尖会合在一点。

一座金字塔,要用几十万人和几百万块巨石,在几十年的时间内才能建成,能够不出差错,你看古埃及人在设计、计算、测量和施工方面该有多么高明!

怎样准确画出直角,很可能是古埃及人要解决的最大难题。因为金字塔的地基必须严格地建成为正方形,四个角就必须是严格的直角;不管是哪一个角有微小的偏差,都会使整个建筑物走形。那时候还没有发明测量仪器,要做出周长一公里那么大的正方形,实在不简单!

他们很可能是这样来解决这个问题的:先在地上打进两个木桩,然后绷紧木桩间的绳子,这样就画出一条直线,成为金字塔的一条边线。然后,在两个木桩上各系上一条绳子,绳子的长度要超过两个木桩距离的一半。拉紧绳子的末端,以木桩为原点转动,画出两条相交的圆弧来,过这两条圆弧的交点,画出另一条直线,和头一条直线相交,夹角就是准确的直角。这后一条直线,就是地基的另一条边线。

那么,要检查墙壁或者巨石的一面是否直立,怎样在空中作出直角来呢?古埃及人巧妙地使用了锤准线。这个方法直到今天还在使用着。锤准线自由摆动,在空中画出圆弧,当它停下来的时候就与地面成直角。要是墙壁能和锤准线平行,它就和地面垂直。

现在,我们都知道画直角的简便方法是使用直角三角板。但是,这必须首先做出一个直角三角形来。

古埃及人使用绳子丈量土地。职业结绳者的工作就是在测量用的绳子上打出等间隔的绳结。可能就是他们最先发现了某些长度一定的三条绳子所组成的三角形,其最长边所对应的那个角是直角。其中一种是由3个、4个、5个等间隔的绳结长度组成的;另一种取5个、12个、13个等间隔的绳结长度。把窄木条锯成这样的长度,首尾相接,就做成一个直角三角板。有了这种三角板,以后的测量和画图就方便了。

农民在盖自己住的小屋的时候可以说:“我这个屋子六步长,四步宽,屋顶比我脑袋高一柞”。设计大型建筑金字塔可不能这样。因为工人成千上万,每个人的步和柞都不一样。于是,他们就规定出以某一个人——据说是当时国王身体的某一部分的长短,作为标准单位;再按这个标准单位,制作一定长度的木头条或者金属条,作为大家通用的度量工具。这就是最早的尺子。

在埃及,主要的长度单位是腕尺,它是自肘到中指尖的长度。小一些的单位有:掌尺,它等于七分之一腕尺;指尺,它等于四分之一掌尺。因为那时候的埃及人理解分数的意义非常费劲,所以这些小单位很有用。今天,人们熟悉分数了,但是在习惯上,大家一样喜欢用小单位。比如英国人和美国人总是说七英寸,不肯说十二分之七英尺。在我国,有说半尺的,但是谁也不说十分之五尺。

每年收获季节,埃及的僧侣都要向农民征收赋税。农民主要是上交自己的农产品,这就需要标准重量单位来称量谷子、油、酒等;而捐税的多少,又是按土地的多少来定的,这又需要丈量和计算土地面积了。

求面积的方法,最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现:一块地面,如果是三砖长、三砖宽,需要铺九块砖(3×3);另一块地面,三砖长、五砖宽,就需要铺十五块砖(3×5)。这样,计算正方形和长方形的面积,只消用长乘以宽就行了。

但是问题在于,不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地,好像哪儿都是边,哪儿也有角,形状很不规则,把它们分成若干个三角形倒是方便的。怎样才能求出三角形的面积呢?其实,一旦掌握了长方形和正方形面积的求法,三角形面积也就不难求了。

一块正方形的麻布,可以折叠成两个大小相等的三角形,每个三角形的面积,恰好是正方形面积的一半。估计古埃及人正是从这类简单的探索中,学会了求三角形面积的方法:长乘宽,再除以二。

测量土地的工作,想来是十分繁重的。因为埃及的土地主要分布在尼罗河沿岸,每年七月中旬,河水开始泛滥,淹没大量土地,一直到十一月才开始退落。洪水退去后,田野里留下一层肥沃的淤泥,帮助农民获得好收成;可是洪水把地界冲掉了,年年都得重新测量土地。因此,人们常把几何学起源于埃及的原因,归功于尼罗河水的泛滥。

在大量的测量工作中,埃及人当然会碰到“圆”这类难办的图形。他们感到难办的地方,是无法把圆分成许多块三角形,而每一块都是由三条直线组成的标准三角形。因此,古埃及人认为圆是天赐予人们的神圣图形。今天,我们都很熟悉圆,天天和圆打交道,可是要认识和掌握好圆的性质也不容易。

实践出真知。早期的埃及人,一定是用绳子绕木桩的方法来画圆。他们从长绳子画出来的圆大,短绳子画出来的圆小,知道了圆面积的大小,是由圆周到圆心的距离来决定的,这就是我们常说的半径。

到了350年前左右,当金字塔已成为古迹的时候,一个叫阿赫美斯的埃及文书,写出了一条这样的法则:圆的面积,非常接近于半径为边的正方形面积的三又七分之一倍。这在当时是很了不起的发现!

阿赫美斯是怎样得到这个求圆面积的方法的,我们恐怕永远弄不清楚,只能猜想他大概还是用划三角形的方法。现在,他的纸草纸手稿装在精致的镜框里,悬挂在伦敦大英博物馆里。

分散在世界各地博物馆中的纸草纸手稿,虽然能帮助我们了解古埃及的数学,不过现有的大部分资料,还是从考察尼罗河畔的古建筑得来的。

有的金字塔,四面准确地对着东西南北,可见古埃及人确定方向的本领很高明。他们可能是根据一个高大的石柱阴影,来确定东西南北的。

有一座大庙的遗址,至今仍屹立着一排柱子。在一年356天中,只有夏至这一天早晨的阳光,能沿着这一排柱子照射进去。数一数太阳光两次正好沿着这行柱子照进庙堂的天数,这就是一年的长短。

在测定时间方面,埃及人也是根据日月星辰的位置和物影来确定的。不过,他们比原始狩猎者和采集者进步得多。早晨,原始人看到长长的物影,顶多只能说:“时间还早啦!”埃及人有日规,看看有刻度的木条上的影子,就能说出:“上午第二个时辰快到了!”

从此,人们有了真正的科学。不过,古埃及留下来的许多图画,画的是上帝掌管日夜时辰的忙碌情景。看来他们是背着一个十分沉重的迷信包袱,在科学的道路上艰难地摸索着。

数学大年事表

约公元前3000年埃及象形数字

公元前2400—前1600年早期巴比伦泥版楔形文字,采用60进位值制记数法。已知勾股定理

公元前1850—前1650年埃及纸草书(莫斯科纸草书与莱因德纸草书),使用10进非位值制记数法

公元前1400—前1100年中国殷墟甲骨文,已有10进制记数法

周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五

约公元前600年希腊泰勒斯开始了命题的证明

约公元前540年希腊毕达哥拉斯学派,发现勾股定理,并导致不可通约量的发现

约公元前500年印度《绳法经》中给出2相当精确的值,并知勾股定理

约公元前460年希腊智人学派提出几何作图三大问题:化圆为方、三等分角和二倍立方

约公元前450年希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论

公元前430年希腊安提丰提出穷竭法

约公元前380年希腊柏拉图在雅典创办“学园”,主张通过几何的学习培养逻辑思维能力

公元前370年希腊欧多克索斯创立比例论

约公元前335年欧多莫斯著《几何学史》

中国筹算记数,采用十进位值制

约公元前300年希腊欧几里德著《几何原本》,是用公理法建立演绎数学体系的最早典范

公元前287—前212年希腊阿基米德,确定了大量复杂几何图形的面积与体积;给出圆周率的上下界;提出用力学方法推测问题答案,隐含近代积分论思想

公元前230年希腊埃拉托塞尼发明“筛法”

公元前225年希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》

约公元前150年中国现存最早的数学书《算数书》成书(1983—1984年间在湖北江陵出土)

约公元前100年中国《周髀算经》成书,记述了勾股定理

中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形(一说成书年代为公元50—100年间),其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法、盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献

约公元62年希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式(海伦公式)

约公元150年希腊托勒密著《天文学》,发展了三角学

约公元250年希腊刁藩都著《算术》,处理了大量不定方程问题,并引入一系列缩写符号,是古希腊代数的代表作

约公元263年中国刘徽注解《九章算术》,创割圆术,计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等,包含有极限思想

约公元300年中国《孙子算经》成书,系统记述了筹算记数制,卷中的“物不知数”题是孙子剩余定理的起源

公元320年希腊帕普斯著《数学汇编》,总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法

公元410年希腊许帕提娅,历史上第一位女数学家,曾注释欧几里德、刁藩都等人的著作

公元462年中国祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率,355/113为密率(现称祖率)

中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理,现称祖暅原理,相当于西方的卡瓦列里原理(1635年)

公元499年印度阿耶波多著《阿耶波多文集》,总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知π=3.1416,尝试以连分数解不定方程

公元600年中国刘焯首创等间距二次内插公式,后发展出不等间距二次内插法(僧一行,724年)和三次内插法(郭守敬,1280年)

约公元625年中国王孝通著《缉古算经》,是最早提出数字三次方程数值解法的著作

公元628年印度婆罗摩笈多著《婆罗摩历算书》,已知圆内接四边形面积计算法,推进了一、二次不定方程的研究

公元656年中国李淳风等注释十部算经,后通称《算经十书》

公元820年阿拉伯花拉子米著《代数学》,以二次方程求解为主要内容,12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲

约公元870年印度出现包括零的十进制数码,后传入阿拉伯演变为现今的印度—阿拉伯数码

约公元1050年中国贾宪提出二项式系数表(现称贾宪三角和增乘开方法)

公元1100年阿拉伯奥马·海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根

公元1150年印度婆什迦罗第二著《婆什迦罗文集》为中世纪印度数学的代表作,其中给出二元不定方程x2=1+py2若干特解,对负数有所认识,并使用了无理数

公元1202年意大利L斐波那契著《算盘书》,向欧洲人系统地介绍了印度—阿拉伯数码及整数、分数的各种算法

公元1247年中国秦九韶著《数书九章》,创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术,相当于西方的霍纳法(1819年)

公元1248年中国李冶著《测圆海镜》,是中国现存第一本系统论述天元术的著作

约公元1250年阿拉伯纳西尔丁·图西开始使三角学脱离天文学而独立,将欧几里德《几何原本》译为阿拉伯文

公元1303年中国朱世杰著《四元玉鉴》,将天元术推广为四元术,研究高阶等差数列求和问题

公元1325年英国T·布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算

公元14世纪珠算在中国普及