3+4+8=15
3+5+7=15
4+5+6=15
现在我们仔细观察一下下面这个独特的3×3魔方：
294753618应当注意的是，这里有8组元素，8组都在8条直线上：三行、三列、两条主对角线。每条直线等同于8组3个数字（它们加起来是15）中的一组。因此，在游戏中每组获胜的3个数字，都由某一行、某一列或某条对角线在方阵上代表着。
很明显，每一次游戏与在方阵上玩“井”字游戏是一样的。庄家在一张卡片上画上这个魔方图，把它放在游戏台下面，只有他能看到。在进行“15点”游戏时，庄家暗自在玩卡片上相应的“井”字游戏。玩这种游戏是绝不会输的，假如双方都正确无误地进行，最后就会出现和局。然而，被拉进游戏的人总是处于不利的地位，因为他们没有掌握“井”字游戏的秘诀。因此，庄家很容易设置埋伏，让自己轻松获胜。
22．寻宝
起点是左上角的格子4↓。那些没有停留的方格呈现的数字为31。建议倒过来从终点找起。
23．钟表不慢了
因为这天，时钟刚好比标准的时间慢6个小时。从这天以后，钟比标准时间慢7个小时、8个小时、9个小时……但是它的显示却和标准时间接近了，也就是比时钟显示时间快了5个小时、4个小时、3个小时……
24．带轴的幻方
25．洗牌
假设原来排在第x张的牌经过一次洗牌后排在第y张，由题干可知：
当x≤26时，y=2x-1；
当x≥27时，y=2x-52。
跟踪每一张牌在各次洗牌后的位置，可以发现：
原来的第1、第52的两张牌位置是一直不变的；
原来的第18、第35的两张牌不停互换位置；
其余的48张牌以8张为一组，各自在组内以8次洗牌为一个循环。
所以洗8次牌后回到初始状态。
26．美丽七连环
27．取火柴
乙获胜。
因为3000不是2的K次方，所以甲不能一次全部取走。而1或者2的K次方都不是3的倍数，所以第一次甲取完火柴后，剩下的火柴数目必然不是3的倍数。乙取火柴的策略就是，每次甲取完火柴后，乙取1根或2根，使得剩下的火柴数目是3的倍数。这样，最后剩下3根火柴时，无论甲取1根还是2根，乙都能取到最后一根火柴。
28．红色的还是白色的
当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的，但每个人不知道其他人是否知道这个事实，即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”，每个人还知道其他人知道他知道这个事实……
局外人第一次问时，由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子，每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色，于是均回答“不知道”。此时，如果只有1个人戴红色的帽子，那么这个人因面对3个白色的帽子，他肯定知道自己的帽子颜色。因此，当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也是公共知识。
当局外人第二次问时，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”--因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人，因此当局外人第二次问时，他们只能回答“不知道”。--此时的“不知道”，意味着“至少3个人戴红色的帽子”，并且它成为公共知识。
同样，局外人第三次问时，他们均回答“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此，当局外人第四次问时，他们就知道每个人头上均戴的是红色的帽子，于是，他们回答“知道”。
在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及第二、第三、第四次回答的时候，无论是回答“知道”还是“不知道”--它们构成公共知识--构成所有人推理的前提，在这个过程中，每个人均在推理。这就是“帽子的颜色问题”。
29．精灵的语言
向A问第一个问题：
如果我问你以下两个问题：“Da表示‘对’吗”和“如果我问你以下两个问题：‘你说真话吗’和‘B随机答话吗’，你的回答是一样的，对吗”，你的回答是一样的，对吗？
如果A说真话或说假话并且回答是Da，那么B是随机答话的，从而C是说真话或说假话；
如果A是说真话或说假话并且回答是Ja，那么B不是随机答话的，从而B是说真话或说假话；
如果A是随机答话的，那么B和C都不是随机答话的！
所以无论A是谁，如果他的答案是Da，C说真话或说假话；如果他的答案是Ja，B说真话或说假话。
不妨设B是说真话或说假话。
向B问第二个问题：
如果我问你以下两个问题：“Da表示‘对’吗”和“罗马在意大利吗”，你的回答是一样的，对吗？
如果B是说真话的，他会回答Da；如果B是说假话的，他会回答Ja。从而我们可以确认B是说真话的还是说假话的。
向B问第三个问题：
如果我问你以下两个问题：“Da表示‘对’吗”和“A是随机回答吗”，你的回答是一样的，对吗？
假设B是说真话的，如果他的回答是Da，那么A是随机回答的，从而C是说假话的；如果他的回答是Ja，那么C是随机回答的，从而A是说假话的。
假设B是说假话的，如果他的回答是Da，那么A是不是随机回答的，从而C是随机回答，A是说真话的；如果他的回答是Ja，那么A是随机回答的，从而C是说真话的。
30．村口的一排树
在老太太作了宣布之后的第一天，如果村里只有一个孩子恋爱的话，这个孩子的父母在老太太宣布之后就能知道。因为，如果其他孩子恋爱的话，她应当事先知道，既然不知道并且至少有一个孩子恋爱，那么肯定是自己的孩子了。因此，村里如果只有一个孩子恋爱的话，老太太宣布之后，当天这个孩子的父母就会去村口种树。
如果村里有两个孩子恋爱，这两个孩子的父母第一天都不会怀疑到自己的孩子，因为他们知道另外一个孩子恋爱了。但是当第一天过后他们发现那孩子的父母没去村口种树，那么他们会想，肯定有两个孩子恋爱了，否则他们知道的那个恋爱孩子的父母在第一天就会去种树的。既然有两个孩子恋爱了，但他们只知道一个，那么另一个肯定是自己的孩子了。
事实上这个村子里的100个孩子都恋爱了，那么，这样推理会继续到第99天，就是说，前99天每个父母都没怀疑到自己的孩子恋爱了，而当第100天的时候，每个父母都确定地推理出自己孩子恋爱了，于是都去村口种树了。
这里，在老太太宣布“至少一个孩子恋爱了”这样一个事实时，每个父母其实都知道这个事实（村子里的规则他们也知道），老太太对这个事实的宣布似乎并没有增加这些村民的知识--关于村里孩子恋爱的知识。但为什么老太太的宣布使得村里的父母都去种树了呢？这是因为，老太太的宣布使得这个群体里的知识结构发生了变化，本来“至少一个孩子恋爱了”对每个村民都是知识，但不是公共知识，而老太太的宣布使得这个事实成为公共知识。
所谓公共知识是指，一个群体的每个人不仅知道这个事实，而且每个人知道该群体的其他人知道这个事实，并且其他人也知道其他的每个人都知道这个事实……这涉及一个无穷的知道过程。
在上述例子中，老太太未宣布之前，对村子里的村民来说，“至少一个孩子恋爱了”不是一个公共知识。设想一下，假定共有3个村民A、B、C，那么在未宣布之前，A想：由于自己不知道自己的孩子恋爱了，其他两个女人B、C也同样不知道，那么A想B不知道C是否知道“至少有一个孩子恋爱了”。而当老太太宣布了“至少一个孩子恋爱了”之后，“至少一个孩子恋爱了”便成了A、B、C之间的公共知识。
在这个100家住户组成的小村里，老太太的宣布使得“至少一个孩子恋爱了”成了公共知识。于是，推理与行动便开始了。这是第100天的时候一起种树的原因。
31．猜数字
说话依次编号为S1，P1，S2。
设这两个数为x、y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s≤41。因为如果s>41，那么P拿到41×（s-41）必定可以猜出s了。所以s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。
（1）假设和是11。11=2+9=3+8=4+7=5+6，如果P拿到18，18=3×6=2×9，只有2+9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24=6×4=3×8=2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。
（2）假设和是17。17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。