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第31章 综合法(3)

3+4+8=15

3+5+7=15

4+5+6=15

现在我们仔细观察一下下面这个独特的3×3魔方:

294753618应当注意的是,这里有8组元素,8组都在8条直线上:三行、三列、两条主对角线。每条直线等同于8组3个数字(它们加起来是15)中的一组。因此,在游戏中每组获胜的3个数字,都由某一行、某一列或某条对角线在方阵上代表着。

很明显,每一次游戏与在方阵上玩“井”字游戏是一样的。庄家在一张卡片上画上这个魔方图,把它放在游戏台下面,只有他能看到。在进行“15点”游戏时,庄家暗自在玩卡片上相应的“井”字游戏。玩这种游戏是绝不会输的,假如双方都正确无误地进行,最后就会出现和局。然而,被拉进游戏的人总是处于不利的地位,因为他们没有掌握“井”字游戏的秘诀。因此,庄家很容易设置埋伏,让自己轻松获胜。

22.寻宝

起点是左上角的格子4↓。那些没有停留的方格呈现的数字为31。建议倒过来从终点找起。

23.钟表不慢了

因为这天,时钟刚好比标准的时间慢6个小时。从这天以后,钟比标准时间慢7个小时、8个小时、9个小时……但是它的显示却和标准时间接近了,也就是比时钟显示时间快了5个小时、4个小时、3个小时……

24.带轴的幻方

25.洗牌

假设原来排在第x张的牌经过一次洗牌后排在第y张,由题干可知:

当x≤26时,y=2x-1;

当x≥27时,y=2x-52。

跟踪每一张牌在各次洗牌后的位置,可以发现:

原来的第1、第52的两张牌位置是一直不变的;

原来的第18、第35的两张牌不停互换位置;

其余的48张牌以8张为一组,各自在组内以8次洗牌为一个循环。

所以洗8次牌后回到初始状态。

26.美丽七连环

27.取火柴

乙获胜。

因为3000不是2的K次方,所以甲不能一次全部取走。而1或者2的K次方都不是3的倍数,所以第一次甲取完火柴后,剩下的火柴数目必然不是3的倍数。乙取火柴的策略就是,每次甲取完火柴后,乙取1根或2根,使得剩下的火柴数目是3的倍数。这样,最后剩下3根火柴时,无论甲取1根还是2根,乙都能取到最后一根火柴。

28.红色的还是白色的

当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时,这个事实其实每个人都知道了,因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的,但每个人不知道其他人是否知道这个事实,即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后,“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”,每个人还知道其他人知道他知道这个事实……

局外人第一次问时,由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子,每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色,于是均回答“不知道”。此时,如果只有1个人戴红色的帽子,那么这个人因面对3个白色的帽子,他肯定知道自己的帽子颜色。因此,当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”,而且这也是公共知识。

当局外人第二次问时,如果只有2人戴的是红色的帽子,这2人就会回答说“知道”--因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人,因此当局外人第二次问时,他们只能回答“不知道”。--此时的“不知道”,意味着“至少3个人戴红色的帽子”,并且它成为公共知识。

同样,局外人第三次问时,他们均回答“不知道”,意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此,当局外人第四次问时,他们就知道每个人头上均戴的是红色的帽子,于是,他们回答“知道”。

在这个过程中,当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”,以及第二、第三、第四次回答的时候,无论是回答“知道”还是“不知道”--它们构成公共知识--构成所有人推理的前提,在这个过程中,每个人均在推理。这就是“帽子的颜色问题”。

29.精灵的语言

向A问第一个问题:

如果我问你以下两个问题:“Da表示‘对’吗”和“如果我问你以下两个问题:‘你说真话吗’和‘B随机答话吗’,你的回答是一样的,对吗”,你的回答是一样的,对吗?

如果A说真话或说假话并且回答是Da,那么B是随机答话的,从而C是说真话或说假话;

如果A是说真话或说假话并且回答是Ja,那么B不是随机答话的,从而B是说真话或说假话;

如果A是随机答话的,那么B和C都不是随机答话的!

所以无论A是谁,如果他的答案是Da,C说真话或说假话;如果他的答案是Ja,B说真话或说假话。

不妨设B是说真话或说假话。

向B问第二个问题:

如果我问你以下两个问题:“Da表示‘对’吗”和“罗马在意大利吗”,你的回答是一样的,对吗?

如果B是说真话的,他会回答Da;如果B是说假话的,他会回答Ja。从而我们可以确认B是说真话的还是说假话的。

向B问第三个问题:

如果我问你以下两个问题:“Da表示‘对’吗”和“A是随机回答吗”,你的回答是一样的,对吗?

假设B是说真话的,如果他的回答是Da,那么A是随机回答的,从而C是说假话的;如果他的回答是Ja,那么C是随机回答的,从而A是说假话的。

假设B是说假话的,如果他的回答是Da,那么A是不是随机回答的,从而C是随机回答,A是说真话的;如果他的回答是Ja,那么A是随机回答的,从而C是说真话的。

30.村口的一排树

在老太太作了宣布之后的第一天,如果村里只有一个孩子恋爱的话,这个孩子的父母在老太太宣布之后就能知道。因为,如果其他孩子恋爱的话,她应当事先知道,既然不知道并且至少有一个孩子恋爱,那么肯定是自己的孩子了。因此,村里如果只有一个孩子恋爱的话,老太太宣布之后,当天这个孩子的父母就会去村口种树。

如果村里有两个孩子恋爱,这两个孩子的父母第一天都不会怀疑到自己的孩子,因为他们知道另外一个孩子恋爱了。但是当第一天过后他们发现那孩子的父母没去村口种树,那么他们会想,肯定有两个孩子恋爱了,否则他们知道的那个恋爱孩子的父母在第一天就会去种树的。既然有两个孩子恋爱了,但他们只知道一个,那么另一个肯定是自己的孩子了。

事实上这个村子里的100个孩子都恋爱了,那么,这样推理会继续到第99天,就是说,前99天每个父母都没怀疑到自己的孩子恋爱了,而当第100天的时候,每个父母都确定地推理出自己孩子恋爱了,于是都去村口种树了。

这里,在老太太宣布“至少一个孩子恋爱了”这样一个事实时,每个父母其实都知道这个事实(村子里的规则他们也知道),老太太对这个事实的宣布似乎并没有增加这些村民的知识--关于村里孩子恋爱的知识。但为什么老太太的宣布使得村里的父母都去种树了呢?这是因为,老太太的宣布使得这个群体里的知识结构发生了变化,本来“至少一个孩子恋爱了”对每个村民都是知识,但不是公共知识,而老太太的宣布使得这个事实成为公共知识。

所谓公共知识是指,一个群体的每个人不仅知道这个事实,而且每个人知道该群体的其他人知道这个事实,并且其他人也知道其他的每个人都知道这个事实……这涉及一个无穷的知道过程。

在上述例子中,老太太未宣布之前,对村子里的村民来说,“至少一个孩子恋爱了”不是一个公共知识。设想一下,假定共有3个村民A、B、C,那么在未宣布之前,A想:由于自己不知道自己的孩子恋爱了,其他两个女人B、C也同样不知道,那么A想B不知道C是否知道“至少有一个孩子恋爱了”。而当老太太宣布了“至少一个孩子恋爱了”之后,“至少一个孩子恋爱了”便成了A、B、C之间的公共知识。

在这个100家住户组成的小村里,老太太的宣布使得“至少一个孩子恋爱了”成了公共知识。于是,推理与行动便开始了。这是第100天的时候一起种树的原因。

31.猜数字

说话依次编号为S1,P1,S2。

设这两个数为x、y,和为s,积为p。

由S1,P不知道这两个数,所以s不可能是两个质数相加得来的,而且s≤41。因为如果s>41,那么P拿到41×(s-41)必定可以猜出s了。所以s为{11,17,23,27,29,35,37,41}之一,设这个集合为A。

(1)假设和是11。11=2+9=3+8=4+7=5+6,如果P拿到18,18=3×6=2×9,只有2+9落在集合A中,所以P可以说出P1,但是这时候S能不能说出S2呢?我们来看,如果P拿到24,24=6×4=3×8=2×12,P同样可以说P1,因为至少有两种情况P都可以说出P1,所以A就无法断言S2,所以和不是11。

(2)假设和是17。17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9,很明显,由于P拿到4×13可以断言P1,而其他情况,P都无法断言P1,所以和是17。