后来，我根据这样的设想，以“推测”—“说说推测理由”—“实践检验推测设想”的思路上了这节数学课。事实证明，这种设计是可行的。课后想一想，“说说推测理由”也可以放在验证以后，用“解释检验的结果”来代替。验证前也罢，验证后也罢，我总认为不能少了寻找理由这一环节。
二、数学活动中的问题与分析
【阅读链接】
《长方形面积的计算》中的数学活动设计
《数学课程标准》强调：“数学教学是数学活动的教学”。这里所指的“数学活动“应该是指数学观察、实验、验证、推理和交流等实践和思维活动，而不是单纯的肢体活动。可是部分老师却把这句话片面理解成“数学教学是活动的教学”，甚至认为数学课上活动越多越好，从而把教学引入了歧途，使热闹浮躁的情境导致课堂远离了“理性思考”的轨道。如何在活动中学习数学呢，我曾经参与了《长方形面积的计算》的一节研讨课设计。
当时《长方形面积的计算》是人教版九年义务教育六年制小学数学第七册的内容。本节课的内容是在学生掌握了面积概念、面积单位，能用面积单位直接摆拼长方形面积的基础上进行学习的，学生已经学习了用面积单位拼出面积的方法。基于在数学活动中学习数学的思考，我建议：
一、先通过计算机出示不同长和宽的、数字比较小（长和宽在10厘米以内的长方形，让学生动手拼出面积（活动目的：复习巩固旧知，为学习新知识奠定基础，选数字比较小的长方形是因为活动的目的在于揭示一种方法意义，而不要把过多时间用在简单操作中。
二、计算机显示一个长满荷叶的、数字相对较大（长和宽在20米以上的池塘，请同学们想办法得到面积并交流（目的：使数学和生活紧密联系。这是一个南方的农村学校，学生经常看到池塘，经常和池塘打交道。用池塘面积计算的问题可以使学生意识到“数学知识产生于社会生活中的实际需要和实际问题”，数学的价值在于能解决生活中的数量和空间位置等方面的问题，从而能使学生更加深刻地理解所学内容的生活意义和社会意义。数字相对较大和长满荷叶是为了让学生感受到生活中的问题再用“拼”的方法已经很困难，需要探索新的办法。
（试教的课堂上，有的同学建议用平方米的面积单位划着船去拼，但同学们仔细一想，认为不方便；有的则建议用铁丝拉成方格，然后数方格的个数……有的老师认为，这个环节不成功，因为没有将学生的注意力很快引导到计算上来。我认为，学生原有的经验，就是拼的方式，教学应该建立在学生的经验基础上，并利用好学生的现有经验。如果没有对“拼”的麻烦的认识，就不会有对“计算”简便价值的认同，也就不会认识到数学的力量三、当同学们都感到麻烦的时候，老师建议，请大家再对刚才拼的长方形面积再拼一次，看能发现什么（这是一次探究性活动，活动目的是发现长方形面积与长方形的长和宽之间有什么关系，同时学习充分利用原有经验，改组原有经验。
四、在“长方形的面积等于长乘以宽”这个观察结果出来以后，这时老师可以写在黑板上，但不要下结论，而是在后面打一个大大的问号（板书：长方形的面积=长×宽？（有的老师课后问：“结论已经出来了，何必多此一举？”我认为，这时提出的面积计算方法还只是猜想，还不能算作结论，还需要学生证明。问号的目的在于让学生意识到：对于未经证明的猜测，不能轻易相信和接受。从而培养学生实事求是的科学精神，并引出下面的证明活动。
接着，老师可以给出这样的引导语：“现在，已经有同学提出‘长方形的面积等于长乘以宽’的猜想，是不是这样的呢？我们还需要证明，我们可以再多拼几个长方形的面积，看看它们的面积是不是等于长乘以宽（如果时间允许，学生的素质比较高，证明猜想的方法也可以由学生找出来？”
让学生再次拼长方形面积并交流拼的过程和结果（这是一次验证性活动，活动目的：用不完全归纳的方式验证自己的猜测“长方形的面积：长×宽”，感受例证的不完全归纳证明方法。在学生用自己的活动证明了“长方形的面积=长×宽”没有不符合实际操作结果后，老师才将原来的问号擦掉（擦掉“？”，是告诉学生，刚才的猜测经过验证现在可以看成结论了，它就是长方形的面积公式。至此，也就完成了“长方形面积公式”的数学模型建构。
计算机再出示一些长方形，用拼和计算两种方式求面积，比赛哪一种方式更快。然后再回到池塘的面积计算，让学生用计算的方式算出池塘面积（这是一次应用性活动，通过活动，一方面巩固“计算”和“拼”的结果完全一样这一认识；另一方面，体会计算的方法要方便、快捷得多，数学可以简约化，可以通过建立数学模型使问题解决更快捷和容易。这就是数学的意义和价值。
组织学生回顾学习过程，让学生体味得到的东西（这是一次小结性活动。目的有两个，一个是归纳“长方形面积公式”的科学发现的过程：发现生活中的问题或困难，根据已有经验提出假设建立了假设的数学公式，证明假设的公式，运用已经得到证明的结论处理生活遇到的问题；另外一个是强化“我们发现了长方形面积计算方法”的成功体验，让学生感受数学的价值和魅力，提高数学学习兴趣。
这是2001年3月的一次设计。用在今天，在时间允许的情况下，可以加上测量和估算的数学活动，比如可以估算教室的面积，丈量教室的长与宽；还可以估算黑板的面积，丈量黑板的长与宽……【阅读链接】
如何指导学生思维
曾经在一次二年级数学课观课活动前收到这样的字条：“陈老师：因为我的小课题研究点是小学低段学生数学思维与数学语言协同发展的策略。所以，我希望你能关注课堂上学生表达自己的思路时，我的指导策略是否得当？“我很高兴授课老师对我的信任，更高兴授课老师认可的解决教育教学问题和实现自身发展的研讨目的，并对她为此做的准备工作感到满意。
课上相关的情境和具体的问题不在这里说了，只说如何指导学生思维。
对学生在课堂上的某一表现，尽管从外部表情我们可以说“这个学生在想问题”，而且也可能大概猜测出这个学生在想什么，但到底在想什么，以及是怎么想的，我们并不清楚。也就是说，思维的内容、思维的过程和思维的方式是看不见的。这样，就可以说思维就其本质是内隐的活动。思维就其本质是内隐的活动，那如何指导学生思维呢？答案是借助语言—当然这里的语言并非仅仅是文字，它应该包括能够传递思维信息的图像、符号、体态、表情等。就语言和思维的关系看，语言是思维的工具，思维是对语言的加工，它们之间不可分割，这是可以借助语言研究思维、指导和影响思维的根据。
思维看不见，但语言却可以表达、传递和观察，这样，思维就可以借助语言的工具来认识和指导。教学中有这样两种活动方式：一是练习，二是提问或者学生交流表达。为什么要练习？我体会，一方面，练习有巩固的意义，有将知识转化为能力，促进知识运用的作用；另一方面，练习提供了一种将内隐的思维方式、思维过程通过做题外化为文字、符号、动作等语言的机会，老师可以根据学生表达出的语言理解学生的思维，进而指导学生思维。同样的道理，学生在课堂上的发言也是一种思维的表达，关注学生的语言就是关注学生思维，指导学生的语言也在指导学生思维。
通过语言外化了解和指导学生思维也会遇到问题，那就是一个人的语言是否能够真正反映和表达一个人的思维？答案是并不一定。这里的原因不仅有表达水平的限制，还有表达的主观故意和选择。比如，当学生意识到，他的发言可能被嘲笑，他就会选择不发言；如果他表达自己“不会做这个题目”“对这个问题没有思考”的真实思维可能得到惩罚，他就可能选择抄别人的作业或者逃避……从这种意义上，让学生觉得安全，不仅是进入学生内心感情的前提，也是了解学生真实的思维状态，并进行有效指导的关键。
想抓住学生的思维就要抓住学生的语言。如何通过语言指导学生思维呢？我想至少有这几个方面的策略是要注意的：
首先是倾听策略。原因很简单，你不用心听，你就不知道他说了什么，就不知道他在想什么，在怎么想。因为倾听不仅具有教学的意义，而且具有生活意义，所以倾听既是一种态度，又是一门艺术。作为一种生活态度，它强调平等、尊重、移情。作为一门艺术，它需要等待、鼓励和支持。简单地说，教学倾听不是简单地用耳朵听，而是用整个心灵去感受。
其次是追问策略。追问是一种用语言指导学生思维的策略，目的在于促进学生自我教育。我体会，追问可以达到这样一些目的：澄清和坚定现有的想法；更全面更多角度地思考问题；更深入地发现问题的背景和前景；否定或修正现有认识……尽管在追问过程中，不能排除教师提供结论，但就发展学生思维的目的要求，还是需要回到老祖宗那里，《学记》说：“故君子之教，喻也；道而弗索，强而弗抑，开而弗达。“—高明的教师的教学，在于善于引导。要引导学生，但决不牵着学生的鼻子；要严格要求学生，但决不使学生感到压抑；要在问题开头启发学生思考，决不把最终结果端给学生。
第三是引导小结策略。学习总要有效果，思维总要有成果。小结是将思维的成果系统化、体系化；是将追问和应答过程中发现的一颗颗珍珠用线串成项链，以避免珍珠散落和遗失；也是从乱糟糟的书堆中清理出有价值的文献，然后归类存放，以便检索和应用。
【课堂案例】
追问的精彩
学问、学问，无论是教还是学，关键就在这个“问”上。因为“问”是一个法宝，它是深入的阶梯，是长进的桥梁，是触发的引信，是觉悟的契机。与提问相系的追问在教学中亦很重要，它是在提问的基础上进行的，需要教师根据答问、讨论等学习活动的情况，对学生思维行为作即时的疏导、点拔。“追问”无疑是促进学生学习、实现“有效学习”的重要教学指导策略。
一、追问，引领学生多途径解决问题
教学过程中，往往一道非常简单的练习题，通过老师的追问，学生可以运用不同方法解决问题，充分实现同伴互学、互助，交流中共同提高。例如：比较0.72与0．53的大小，学生答出0.72>0．53后老师追问：你为什么会这么说呢？学生思考片刻，纷纷举手发言。
生l：我在这两个数的后面各加一个“元”字：0.72元是7角2分，0.53元是5角3分，7角2分>5角3分，所以072>0.53。
生2：72>53，所以0.72>0.53。生3：0.72表示有72个1／100，0.53表示有53个1／100，72>53，所以0.72>0.53。
生4：先比较整数部分，整数部分相等，再比较十分位上的数，7>5，所以0．72>0.53。更有意思的是一个学生说：我感觉小数的大小比较，就像将军带兵打仗，前边的将军比赛败了，后面再强壮的士兵也认输了。
二、追问，让学生“知其然，也知其所以然”
譬如一节《分数大小的比较》，在认识了几分之一之后，我建议孩子们写出比1／8大的分数，能写几个写几个，很快，有了回应：一个孩子这样板书：1／7、l／6、1／5、1／4、1／3、1／2；一位孩子补充：2／4，但很快遭到一片责问声，怎么会呢，2／4是多少，怎么能大于1／8呢？这孩子马上反问：一个苹果切成4块你吃掉其中的2块，或者切成2块你吃掉其中的一块，不都是吃掉它的一半吗？1／2是一半，2／4也是一半，2／4不就等于1／2吗？面对他的振振有词，逐渐有孩子开始点头认可；第三位孩子更是与众不同：他唰唰地写下了2／8、3／8、4／8、5／8、6／8、7／8、8／8……我赶紧喊了停，在大家的疑惑中，我们开始了本节课的学习—用自己的方法验证这位同学所给的答案……第二位学生确实已牢固掌握了这一知识，对其他学生来说教师的讲解没有该同学的讲解亲切、易懂，于是我利用一名同学对该生的追问，事实上也是对全班同学的追问。
三、追问，充分与学生进行交流
计算单元中，我把课题缩小到“追问中了解学生想法”。以往，一节计算课下来，要求学生计算的准确性是很高的。这不，《多位数乘一位数》的学习结束，在连续进位乘法学习即将下课的一分钟检测中，出现了一位同学，他是这样计算143×7的：
143×7=1041
满以为本节课通过指名示范讲解，学生举手发问、共同帮助理解，同桌互相说明计算过程及注意事项，不应该再出现法则运用错误的情况。所以发现这个学生的竖式以后，我顿时胸中火焰腾起，想狠狠批评一通。得益于长时间沐浴新课改的理念，我冷静下来，面带微笑，低声询问：“喂，能给我讲一下你的计算过程或者想法吗？”
他迟疑了片刻，继续说：“个位上，3×7=21，向前一位进2，个位上写1。”
听孩子这么一说，我顿感孩子思路的清晰，赶紧点了点头。孩子底气更足了，接着加快语速：“十位上，4×7=32，加上2，得34，进3写4。”
听到这儿，我明白了，孩子是乘法口诀记错了。于是，继续追问：“再说一遍十位上乘的过程，好吗？“孩子好像明白了什么，想了想又重复了一遍。
“能再说一次吗？”我不急不躁地又加了一句。
“哦，我知道了，四七二十八。”
看到孩子既兴奋又不好意思的样子，我也笑了：“你还是很棒的，不过细心不足呀。”
“老师，我以后会细心的。”
就这样，一场暴风骤雨终于没有爆发，和风细雨的交流中，教师与学生的心走得更近了。