读书随笔：烧掉数学书（上）

紫网2023-10-16 11:00:130阅

工科的读友提出抗议了，文史太多，能不能来的真正硬的东西。于是就勉为其难地拿起了杰森·威尔克斯的这个本子——重新发明数学，副标题是，烧掉数学教材。

关于数学思想，同时也是微积分的普及本。核心观点，是从初等代数到高等数学，从一维线段到无穷维不知道什么体，都可以用最简单的加乘法代数来加以思考和建构，一切都没有我们被教育和想象的那么复杂。

作者先是提出自己的理念，如加法和乘法就能替代掉令人讨厌的减法和除法（我们中国人之所以觉得除法简单，是因为我们是用背诵口诀表的方式记忆的，而不是真正去计算的）。他使用这种最简单直接的方法，直接切入到高等数学的微积分，进而干脆就到了相对论因子，通过种种推导过程来展现他的上述观点。

也是挺有趣的一本书。我是在出差路途中看完这本书的，体量不小，而且因为是在出差途中，手头往往没有纸笔来验证他所说的推导演算过程，只能心算，所以，常常就因为费神睡着了。哈哈。

不过，确实观点还是对人很有助益的。这里只对我感触较深的几个观点进行介绍，尽可能不使用数字和符号。

第一是之前敝号随笔过的费曼那句话，如果我不能发明出来，那就说明我还没弄懂。

这其中深层触及的，就是学习和教育理念的问题。作者提到，即便是在美国，数学教育在大多数时候也是填鸭式的记忆教育。此前我亲身体验过美国普通小学的数学教育，与国内的数学教育已经截然不同——简单说，他们注重方法，解释清楚乘法、除法的基本道理，而不注重计算速度和熟练度。

如果这种教育也能被批判为填鸭式教育，那我们这背诵乘法口诀表的行为算啥。

此前随笔费曼传的时候也提到过，这些科学大家、教育大拿们，都强调，学习一门科学的目的应当是能让学生重新发现、发明所学的内容，这才是教育的根本——让人学会思考问题，提出并尝试解决问题。

时至今日，这个简单朴素的道理，对于普通教育而言仍是遥不可及的目标。

作者分析初等数学、解析几何、微积分这类数学知识，如果我们不能像花拉子密、笛卡尔、莱布尼茨那样从无到有把这些数学知识重新推导和发现出来，那么我们就根本没有弄懂这些知识的来源和根基是什么。

当然，我们不可能像上述神人一样神，只不过我们是当代人，所具备的视野和信息量已经远远超越了上述神人，因此，重新去推导和构建这些数学知识，并不是真正的从一无所知开始，也因此就不是一件难事。

费曼也指出，如果我们发现一个事情有规律，哪怕是我们能够运用这种规律去解决一些问题，从深层次来讲，这就说明我对这个事情还没有了解透彻，所谓的规律，本质就是背后有一些我们不清楚的东西在起作用。

举个例子，初等代数里的分配率、交换律，如(a b)c=ac bc，ab=ba，简单如这些，我们常常是被老师教育，记住就是了，大多数人并不会去搞清楚为什么会是这样——因为约定吧？

用图形来稍稍想一下，就明白了——比如一个宽为a，长为c的长方形，它的面积应当是A=ac；其实，那个(a b)就是指，宽的那一边加长了一段b，也就是在原来ac这个长方形基础上，加上了一个新的小长方形bc，构成了一个新的大长方形。所以，(a b)c意思就是这个新的大长方形的面积是多少，当然这个新的大长方形面积就是两个小长方形之和——ac bc，这就是分配律的本质——解析几何也就起源于此，用代数的方法说明几何，用几何的方法说明代数。

那交换律更简单了，长方形的面积是ab，把这个长方形旋转90°，面积没有变吧，长宽对调，变成了ba。

还举个例子。你接着问，那凭什么长方形的面积就是长乘宽呢，A=ac？想过这个问题吗？大部分人也都是按照老师说的，记住就可以。如果非要弄清楚，可能还涉及高等数学的微积分问题，以后再说。

其实，用常识结合最初等的代数也可以弄明白。

比如，我们不知道长方形的面积怎么算，也就是知道长和宽，当时不知道这个面积公式到底是什么样的，可以设定它为A面积=f(a,c)。f(a,c)就是面积方程，或者说函数，或者直接说盲盒——我不知道这是个什么东西，就像一个机器，我只知道，把长和宽的数字扔进去，就会吐出来一个结果告诉我，这就是长方形的面积。

接下来说常识。一个长方形，如果长加一倍，也就是长×2，那么我们知道，面积也就加一倍，×2，对吧？如果宽加一倍，宽×2，面积也会加一倍，×2，对吧？

所以上述函数就会有这样一个特点：f(2a,c)=2f(a,c)，等式左边是长加一倍，等式右边是面积就加一倍。同样，f(a,2c)=2f(a,c)，是吧？

也就是说，无论给长和宽乘上什么数，这个数都可以“提出来”，也就是变成整个面积函数的乘数。

所以，我们是不是干脆把a和c，也就是长和宽干脆也“提出来”算了？

把a提出来——f(a,c)=af(1,c)，对吧？a×1=a吧？继续，把c也提出来——f(a,c)=acf(1,1)。也就是说长方形的面积A=acf(1,1)。

现在只剩下了f(1,1)是个啥不知道了。不过，根据上述常识，我们知道，这个函数不可能是加或者减，只能是乘和除，那么不管是1乘1还是1除1，反正结果都是1。

所以，长方形的面积A=ac。

以上就是初等代数对长方形面积公式的推导过程。

这个过程告诉我们三点：其一，用初等代数来推导看起来麻烦而高深的理论是完全可以的，其二，这样推导出来的数学理论，反而更加清晰地呈现出了理论的结构，让我们随时随地都可以使用简单的工具，把理论重新构建出来，其三，最简单的数学方法让我们可以不去管真正的本质，而只需要关注形式，从形式就可以直击本质。——上述面积公式就是这样，面积到底指的是什么，什么构成的，其实我们还是不知道。但我们通过数学推导和建构，至少知道了面积的形式和性质，对吧？

第二是从无到有的拓展，尤其是没有实质内容的纯形式变换，却可以产生实质性的影响。

数学是个典型的无中生有的游戏，可以凭空产生一个观念，观念连续作用和形式变化，可以生发出有实质性内容的东西来。这毫无疑问也是佛学的概念。

作者提到，通过将一个没有实质内容的非概念，推广成有实质内容的概念，仿佛能够创造一个产生自虚无的思想，可是，这个思想却蕴含着可以认识的内容。也就是从虚无中创造出了一个可供我们探索的世界，甚至于可以让我们在这个虚无产生的世界中回望过去，发现过去不曾发现的性质。

举个例子，我们都知道“幂”这个东西，什么东西多少次幂，其实就是这个东西自己乘自己多少次。如a×a就是a的2次幂，5个a相乘，就是a的5次幂。

而且幂的运算法则有a2×a3=a5，也就是说，a2×a3=a（2 3）。这倒是可以验证无数次。

那么问题来了，零次幂是什么意思？为什么任何数的零次幂都必须=1？——我们都知道A0=1，可这是怎么回事呢？

按一般推理，一个数的零次幂，应该是指这个数零次相乘，不应该是零吗？

可能我们永远也无法触及零次幂的本质是什么。不过，我们可以推算出来：

正因为有了上述幂的运算法则，我们可以这样从无到有地构造：1=1 0，没有错吧？

所以，a1=a（1 0），根据幂运算法则就有，a（1 0）=a1×a0，又因为a1乘一个数（就是a0）等于a1自己，一个数乘以什么数等于它自己呢？当然只能是乘1，所以就有，a0=1嘛。

同样的，也可以解释何以一个数的负数次幂，一定是这个数的幂的倒数？

比如，a-2=1/a2，这是为什么？

也用同样的方式来推导一下：用作者说的加乘思维，即加法乘法可以解决一切问题，0=2 （-2），是吧？所以，a0可以表示为a(2 (-2))，按照幂的计算法则，a(2 (-2))=a2×a-2，又因为前面说了，a0=1，也就意味着a(2 (-2))=a2×a-2=1，那么，a2乘一个什么数会等于1呢？，当然一个数只有乘以自己的倒数才可以得到1，所以，a-2就必须是1/a2。

看到没有，前面，不论是1=1 0，还是0=2 (-2)，其实都是重复说话，相当于无中生有，没有实质性内容，只是形式变化。

然而，就是这样一个形式变化，居然就揭示出了有实质性内容的性质，可谓创造了一个新的世界和新的视角。